Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

158

КОНСТРУКТИВНЫЕ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ

ЧИСЛА

[ГЛ. 2

Индекс

« 0 » в записи

max (х,

у),

min (х,

у),

как

пра-

вило, опускается.

з>

з>

Вполне очевидна

следующая

и

Л е м м а

14. Каковы бы

ни были

КДЧ

х, у

нату­

ральное

п,

max (х,

у) (п) —

max (х (п), у

(п)),

I

I

&

&

—

-

I

1

<?> <?> -

~

Множество

Ф вместе

с определенными на нем отно­

вать

конструктивным

континуумом

или конструктивной

прямой (осью). КДЧ

будут иногда

называться

точками.

4.

Изложенные в

§ 3 свойства

отношений

равенства

мам

поля,

имеют

место обычные правила

обращения

с неравенствами

(ср. теорема 6 § 1)

и т. д. Объем книги

не позволяет

подробно

остановиться

на этих

вопросах,

и мы ограничимся несколькими

примерами.

Т е о р е м а

1.

Каковы

бы

ни

были

КДЧ х,

у, z

1)

* +

(y +

z) =

(x +

y) +

z;

3

2)

х-\-у

=

у +

х;

a>

3)

лг-f- 0 =

х;

3)

4)

x +

(-x)

=

0;

з>

5)

х-(у

-z)

=

(x-y)-Z;

з>

6)

х-

у =

у

• х;

з

7)

х

• 1 =

х;

3>

х 3>

§ 4]

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ

ОПЕРАЦИИ

НАД КДЧ

159

(в утверждениях 4) и 8)

через

(—х)

и

обозначены

соответственно КДЧ

0 — х

и I '. х).

з>

з>

Доказательства

утверждений

1)—9)

совершенно

х +

у{п)

=

х(п) +

у (п),

у +

х{п)

=

у (п) +

х(п).

чить о равенстве х + у =

у +

х.

з>

Т е о р е м а

2.

Каковы

бы ни были КДЧ

х,

у,

1) | * | > 0 ;

2)

| х\ =

0 =

х =

0;

3)

если

х >

0,

то \х\

=

х;

4)

если

х <

0,

то \ х\

=

— х;

5)

\)х\-\у\\<\х

+ у\^\х\

+

\у\.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждение 2) непосред-.

ственно следует из леммы 4 и определения

отношения

= .

Доказательства

1)

и 5)

аналогичны. Докажем

1).

По

лемме 4

\х\(п)

=

\х(п)\>0.

Следовательно

(теорема

11 §

3), | л ; | ^ 0 ,

что

и

тре­

буется. Для доказательства

3)

найдем по

теореме

10

§ 3 натуральные

п и / n

такие, что при i ^

m

x(t)>2-n.

Следовательно, при i ^

m

Дл (х X У) =

У — х.

О п р е д е л е н и е

4.

КДЧ

Дл(х

X у)

называется

дли­

ной

промежутка

х X У- Сегмент

х Л у

назовем

вырож­

денным,

если

Дл

(х Л

у) — 0,

и

невырожденным,

если

Лл(хАу)фО.

х X # мы будем

Длину промежутка

часто обозначать

посредством

| * Х # | -

Т е о р е м а

1.

Можно

построить

арифметически

пол­

ный

алгорифм,

перечисляющий

множество всех

рацио­

нальных

чисел.

Эта теорема вытекает из разрешимости и бесконеч­

ности множества

рациональных чисел.

Нам потребуется следующая, представляющая само­

стоятельный

интерес,

Л е м м а

1

Можно

построить

алгорифм,

перераба­

тывающий

всякий

интервал

х V у

в рациональный

ин­

тервал,

концы

которого

принадлежат

х V у.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Воспользуемся

алгорифмами

D~, D+,

которые будут

построены

в лемме 2 § 3 гл. 3, и

алгорифмом

G, построенным

согласно лемме 8 § 3. Иско­

мый алгорифм

р строим так, что

р(х v

У) ^

D+ (х, G(y-x)+l)v

D~ {у, G(y-x)+

I).

Требуемые

свойства

р легко

устанавливаются

на

осно­

вании леммы 8 § 3 и леммы 2 § 3 гл. 3.

Т е о р е м а

2.

Можно

построить

алгорифм,

перера­

батывающий

всякий

интервал

в

рациональное

число,

принадлежащее

этому

интервалу.

Т е о р е м а

3.

Можно

построить алгорифм

у

такой,

что для

любого

интервала

х V У алгорифм

y x v y

является

ПРЧ,

причем:

1)

при

любом

i y x v

u

(i) e ^ V №

2)

равен­

ство yxvy(i)

=

yxvi,{i)

возможно

лишь

при

i — j .

Теорема

2 показывает,

что

множество

рациональных

рема

3 — что

множество

различных

(в смысле отноше­

ния

= )

рациональных

чисел, принадлежащих

произ-

вольному интервалу, бесконечно.

Т е о р е м а

4.

Можно

построить

алгорифм

а

такой,

что

для

любого

интервала х V у область

определения