Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 193

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.


176		КОНСТРУКТИВНАЯ			с х о д и м о с т ь				[ГЛ. 3
то из	сходимости		ряда	(11)	вытекает сходимость				ряда
(10)	(и, тем самым, из расходимости					ряда	(10)	следует
расходимость ряда			(11)).
Будем		говорить, что		ряд	(11)	является		остатком
ряда	(10),	если можно		указать m		такое,	что	при	лю

бом i

В (г) =

a(m

i).

С л е д с т в и е

Всякий

остаток

сходящегося

ряда

сходится.

Если

некоторый

остаток

ряда

схо

С л е д с т в и е

дится, то этот ряд

сходится.

С л е д с т в и е

Если

ряд

(10)

сходится,

то ПДЧ

сходится

к 0.

Если

х — КДЧ

и при любом п

С л е д с т в и е

В (п) =

• а (п),

то из сходимости

ряда

(10)

вытекает

сходимость

ряда

(11) .

Пусть у — ПДЧ

такая, что при всех п

Y(«) =

a(n)+P(n) .

Рассмотрим ряд

оо

(12)

2,(0-

С л е д с т в и е

Если

ряды

(10)

(11) сходятся,

то

ряд (12)

сходится.

Всякий

абсолютно

сходящийся

ряд

С л е д с т в и е

сходится.

Последовательность натуральных чисел б назовем натуральной перестановкой, если осуществима ПНЧ б'

такая, что при любом п
6(6'(л)) =		л
и при любых k, I, если k ф	I, то
о (k)	Ф6(1).
Ряд с общим членом у	назовем образом ряда		(10)
при натуральной перестановке		б, если при любом	п

у{п) = а{Ь(п)).

§ 2]

ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО

КОНТИНУУМА

177

С л е д с т в и е

10.

Образ

любого

абсолютно

сходяще

гося

ряда

при

любой

натуральной

перестановке

абсо

лютно

сходится

(и

имеет ту же самую

сумму,

что и

ис

ходный

ряд).

С л е д с т в и е

(критерий

Лейбница

сходимости

знакочередующихся

рядов). Пусть

ряд

(10)

таков,

что

при

любом

а ( / ) - а ( / + 1 ) < 0

и ПДЧ

сходится

Тогда ряд

(10)

сходится,

если

КДЧ

х является

его суммой, то при

любом m

m+1

2 а (0 <

х <

2 а (0

или

i=0

m+1

2 а (0 <

х <

2а

(О-

t=0

4=0

Будем говорить, что ряд (10) расходится к беско нечности, если можно построить ПНЧ б такую, что при любых пг, п, если m ^ б(п), то

				2 а (0 >	п.
Имеет место следующий конструктивный аналог при
знака	сходимости			Куммера.
Т е о р е м а			6. Пусть ряд (10)			положителен.
I.	Если	можно		построить ПДЧ		р, натуральные	числа
пит	такие, что
1) V / ( p ( / ) > 0 ) ;
2)	ряд	оо	"pTjy	расходится	к	бесконечности;
2)	ряд	^	"pTjy	расходится	к	бесконечности;
		1=0
3) V / ( / > m = . p ( i ) - - j r ^ T y - p ( / + 1 ) > 2 ~ я ) , то
ряд (10)		сходится.
I I .	Если осуществима ПДЧ				р	и натуральное	число п

такие, что

1) V/(P (0 >0) ;

178		КОНСТРУКТИВНАЯ	сходимость	[ГЛ. 3
2) ряд 2^	-щту расходится;
3) V/ (i >	п	=э р (i) • -^fjj	- р (I + 1) <	0),
то ряд (10)	расходится.
Выбирая в этой теореме в качестве р ПДЧ р1 , р2 , р3
такие, что для		всех i > 0
		Р Ч 0 - 1 ,
		P2 (0=F*\
		Р 3 ( 0 ^ / -	In г *),

получаем признаки сходимости Даламбера, Раабе и Бертрана.

Аналогичным	образом могут быть	переформулиро
ваны признаки сходимости Коши, Абеля		и Дирихле (ср.
Ф и х т е н г о л ь ц	[2]).

Приведенные признаки сходимости показывают зна чительное сходство традиционной и конструктивной тео рии рядов. Отличительной особенностью конструктивной теории по сравнению с традиционной является устанав ливаемое в следующем параграфе существование неот

рицательных		рядов	с	ограниченными				(в совокупности)
частичными		суммами,		не	являющихся			(при	принятом
нами определении			сходимости)				сходящимися.		Однако
конкретные,		употребляемые				в	приложениях		анализа
ряды, как правило, не обладают этим свойством.
4. В качестве иллюстрации изложенного рассмотрим
следующий		пример.
Пусть	б 1	— ПДЧ	такая,			что
и при / ^	1			е«	( o ) ^ i ,

Рассмотрим ряд

(13)

1=0

*) Через In здесь обозначается некоторый алгорифм, задающий конструктивную функцию, соответствующую логарифмической функ ции традиционного анализа (ср. гл. 5, § 1).

ПРИМЕР ШПЕКЕРА

179

Из

очевидной

оценки

•

_ <

(п+1)\

(п + 2)\

' • •

(ft

<__!__

(l I

I -

^ (n +

1)!

' I

n +

l ) 2

(n +

I ) ™ - 1

/ *

< (n

l ) I

rc-n!

n +

следует, что ряд (13) является

сходящимся.

(Так

как

при п>2

выполняется

п\-п>2п,

то,

например,

алго

рифм

о такой, что

(г) =F

I +

является регулятором фундаментальности ряда (13).) Пользуясь теоремой о полноте, построим КДЧ, яв ляющееся суммой ряда (13). Это КДЧ по аналогии с традиционным анализом естественно обозначить бук

вой е.

Нетрудно убедиться, что ПДЧ (Е такая, что при лю бом i > О

сходится к е (ср. Р у д и н [1]).

§ 3. Пример монотонной ограниченной не сходящейся

последовательности рациональных чисел

1. Основным		результатом этого			параграфа является
следующая теорема			Ш п е к е р а [1].
Т е о р е м а	1.	Можно		построить	последовательность
рациональных	чисел		© такую, что
1) при любом		п
и			О <	© ( « ) < 1
и

180	КОНСТРУКТИВНАЯ	сходимость	[ГЛ. 3
Д о к а з а т е л ь с т в о * ) .		Построим	арифметически
полный	алгорифм а, перечисляющий без повторений не

которое неразрешимое множество натуральных чисел Ж. (Возможность построения такого алгорифма без труда

усматривается		из теоремы		12 § 3 гл. 1.)
Искомую	последовательность				<5 построим так, чтобы
при любом п
(1)		®(я) =	2 2 - а ,		' н .
Очевидно,		при любом		п
и			О < <S (п)

(2)		<В [п)< @ (п +				1).
Далее, так как при i ф				j a(i) ф		а(/), то <5(п) меньше
суммы ряда			оо

Следовательно,
(3)			® ( п ) < 1 .
Предположим теперь,				что осуществим алгорифм р,
являющийся	регулятором			фундаментальности ПРЧ <5.
Тогда при любых / >			0, п
@(Р(л) +		0 - < Э ( Р ( л ) ) =			2	2 - в ( , Ь 1 < 2 - " .
				г=3(п)+1
Следовательно, при любом i > р(п)
(4)			а ( 0 > л - 1 .
Из этой	оценки легко			следует		разрешимость множе

ства Ж. Действительно, нетрудно построить алгорифм 2) так, чтобы для любого Р в (0|} выполнялось**)

1) если Р не является натуральным числом, то £ ( Р ) ^ 0 ;

*) Приводимое нами доказательство теоремы Шпекера принад лежит Р а и с у [ I ].

**) Здесь мы используем тот факт, что алгорифм о арифмети чески полн.

Смотрите также файлы

Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf

Лурье, Г. Б. Основы технологии абразивной доводочно-притирочной обработки учебник.pdf

Маринов, И. А. Устройство и эксплуатация преобразовательных подстанций городского электротранспорта учеб. пособие.pdf

Межотраслевые связи и народнохозяйственные пропорции Восточной Сибири и Дальнего Востока..pdf

Мирзоян, Э. Н. Развитие учения о рекапитуляции.pdf

Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно