Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

172

КОНСТРУКТИВНАЯ сходимость

[ГЛ. 3

С л е д с т в и е

1.

Всякая

фундаментальная

ПДЧ

яв­

ляется

сходящейся.

Последовательностью

сегмен­

2. О п р е д е л е н и е

1.

тов (интервалов)

назовем

алгорифм,

перерабатывающий

всякое

натуральное

число

в

сегмент

(интервал).

О п р е д е л е н и е

2.

Последовательность

сегментов

(интервалов)

назовем

вложенной,

если

при

любом

п

Ф(п+

1 ) Е Ф ( П ) .

О п р е д е л е н и е

3.

Последовательность

сегментов

(интервалов)

Ф назовем

регулярной,

если при

любом

п

Д л ( Ф ( л ) ) < 2 - я

(напомним,

что алгорифм

Дл

перерабатывает

всякий

промежуток

в его

длину).

Имеет место следующая теорема, аналогичная из­

вестной теореме о вложенных сегментах

традиционного

анализа.

Можно

построить алгорифм

пе­

Т е о р е м а 2.

lim(2>,

рерабатывающий

запись

всякой

вложенной

регулярной

последовательности

сегментов

Ф в

КДЧ

такое, что

при

любом

п

И т ( 2 > ( Е Ф З ) е Ф ( п ) .

(Таким

образом,

для

всякой

вложенной

регулярной

по­

следовательности

сегментов

можно

построить КДЧ,

при­

надлежащее

всем

сегментам

этой

последовательности.)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пользуясь

теоремами

сочета­

ния алгорифмов

и

теоремой

об

универсальном

алго­

рифме, построим

алгорифм 211

так, чтобы для любой

по­

следовательности

сегментов Ф и любого п

% Ч Ж , п ) ^ К Л ( Ф { п ) ) +

2 К " { Ф { п ) )

•

Построим далее алгорифм 212 так, чтобы для любого

слова

Р в Ч

выполнялось

(Р)~\ш(%2(Р)).

l i m ( 2 )

ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО КОНТИНУУМА

173

Таким образом, алгорифм

Id является

регулятором фун­

даментальности

ПДЧ зЦФЗ и по

теореме

о

полноте

Пт( 2 ) ( £ ФЗ) есть

КДЧ, к

которому

сходится эта ПДЧ.

Фиксируем теперь произвольное п и докажем, что

lim<2>( £ Ф З ) е Ф(п). По

построению

5I1

при

любом

i п

(9)

Кл

(Ф («)) < « Ё Ф З (0 <

Г

(Ф (/г)).

Переходя в(9) к пределу (по

г),

согласно

след­

ствию I § 1 получим

т. е.

Кл

(Ф ( л ) ) < Пт ( 2 )

(ЕФЗ) <

(Ф (л)),

Н т ( 2 ) ( Е Ф З ) е Ф ( « ) .

Теорема

доказана.

Теорему 2 можно дополнить теоремой

единственности

общей

точки

вложенной

регулярной

последовательности.

Т е о р е м а

3. Пусть

Ф — вложенная

регулярная

по­

следовательность сегментов

и

КДЧ

хи

х2 таковы, что

при любом

п

хх

<= Ф (п)

и

х2

е Ф ( 4

Тогда

Х\ =

х2 .

При

условиях

теоремы

для

Д о к а з а т е л ь с т в о .

любого

п

| Х( — х21 ^

2

,

откуда и следует, что Xi

=

Хг.

ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО

КОНТИНУУМА

175

Пусть

а—некоторая

ПДЧ. Рассмотрим

ряд

( Ю

)

оо

2<х(о.

1=0

Непосредственно из теоремы о полноте вытекает сле­

дующий критерий сходимости Коши.

Т е о р е м а

5.

Для

того чтобы

ряд

(10)

был

сходя­

щимся,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

была

осущест­

вима

ПНЧ

6

(называемая

регулятором

фундаменталь­

ности, этого

ряда)

такая,

что при

любых

m,

п,

I,

если

m ^

6(0 .

т

о

I

т+п

<2 - < .

2= т «(0

Очевидно,

располагая регулятором

фундаментально­

сти

данного

ряда,

можно

построить

КДЧ,

являющееся

его

суммой.

неотрицательным

(положитель­

Ряд

(10)

назовем

ным),

если при любом i

a (i) ^

0

(соответственно a (i)

>

0).

Будем

говорить,

что

ряд расходится,

если

он

не

яв­

ляется

сходящимся.

Пусть (3 — ПДЧ. Рассмотрим

ряд

сю

(П)

2 (НО.

1=0

С л е д с т в и е

2.

Если

ряды

(10)

и

(11)

неотрица­

тельные

и осуществимо

натуральное

число

m

такое, что

при

любом

i ^

m

a (i) < р (0.

то из сходимости

ряда

(И)

следует

сходимость

ряда

(10)

(и,

следовательно,

из

расходимости

ряда

(10)

вытекает

расходимость

ряда

(11)).

С л е д с т в и е

3.

Если

ряды

(10) и

(11)

положитель­

ны

и

осуществимо

натуральное

число

m

такое, что

при

i ^

m

a{t

+ О

< Ц 1 ± _ 0

«

(

0

Н О

'