Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 211
Скачиваний: 0
218 |
КОНСТРУКТИВНЫЕ |
ФУНКЦИИ |
[ГЛ. 5 |
ни было КДЧ |
z, |
|
|
|
Id (z) = |
z, |
|
ld{xl)(z)~x.
Простейшими примерами конструктивных функций п
переменных (п > 1) |
являются также |
построенные |
в |
п. 7 |
|||
§ 1 гл. 1 «высекающие» |
алгорифмы |
В{ (где 1 ^ |
i ^ |
п). |
|||
Для любых КДЧ X] |
|
хп |
и 1 ^ |
i ^ |
п |
|
|
Bi |
(хи |
..., |
хп) |
== Xi. |
|
|
|
Использование этих алгорифмов, а также теорем со четания алгорифмов и теоремы о переводе позволяет вводить «фиктивные переменные». Например, распола гая КФ /, можно построить конструктивную функцию п переменных (п > 1) так, что для любых КДЧ х\, ..., х„
g(xu xjcaf(xt).
Аналогично, можно «переставлять аргументы»: на пример, для конструктивной функции двух переменных f можно построить конструктивную функцию двух пере менных g так, что при любых х, у
|
|
g(x, |
y)caf(y, |
х). |
|
Далее, |
использование |
теорем |
сочетания алгорифмов |
||
позволяет |
рассматривать |
суперпозиции конструктивных |
|||
функций. Пусть, например, f—конструктивная |
функция |
||||
п переменных, |
f и . . . , |
/„ — конструктивные |
функции. |
||
Нетрудно построить конструктивную функцию g такую,
что для любых КДЧ Х\ |
хп |
|
|
g{xu |
Xa)~f |
(fi (*,). f2 (х2), |
fn (хп)). |
б) Как следует из § 4 гл. 2, арифметические опера ции над КДЧ являются конструктивными функциями (двух и одной переменной). Использование этих опера ций позволяет ввести многочлены и рациональные дроби. Точнее говоря, можно построить алгорифмы Мн и Рд
так, что для любых п, k и КДЧ х0 |
хп, у0, |
..., уь., z |
выполняется |
|
|
Мн ( Х 0 , . . . , Хп, Z) Х0 • Zn + * , • 2 я - 1 |
+ . . . |
+ Х п , |
р *<*°
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ |
219 |
Нетрудно также определить арифметические опера |
|||||||||||
ции над КФ. Именно, построим алгорифмы |
<Р (где б — |
||||||||||
один |
из |
знаков + , |
—, |
•, |
: , max, |
min) |
и 9 l m o d |
так, |
|||
|
|
|
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
чтобы для любых КФ f, g и КДЧ х |
|
|
|
|
|||||||
|
|
яб (Е/3, |
ЕиЗ, |
|
а(/(*), |
g(x)), |
|
|
|
||
Очевидно, алгорифмы |
|
ЭД^з.^з, |
при любых |
КФ |
|||||||
fug |
являются |
конструктивными |
функциями. Эти функ |
||||||||
ции |
мы |
будем |
обозначать |
через |
{f + |
g}, {f— |
g}, |
{f-g}, |
|||
|
{max (/, g)}, |
{min (/, g)\, |
{\f\}, |
причем |
там, где |
||||||
это не приводит к недоразумениям, фигурные скобки опу скаются и функция Id*1' заменяется на х. Например,
вместо |
{/ + I d i } мы |
будем писать |
{/ + 1} или |
даже |
||||
просто |
f + |
1. |
|
|
|
|
|
|
_ |
По теореме |
16 § 1 |
гл. 1 можно построить |
алгорифмы |
||||
916 |
и 5 l m o d |
(где |
б — один из знаков |
+ , —, |
•, : , |
max, |
||
min) таким |
образом, |
что для любых 3 КФ3 |
3fag 3 |
3 |
||||
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
2Tm o d (£/3)^£«E?3d 3.
Например,
При построении КФ часто оказывается полезной сле
дующая |
простая лемма |
«о |
склеивании конструктивных |
|||||
функций». |
1. Пусть f, g — КФ, z — КДЧ, причем |
If (z), |
||||||
Л е м м а |
||||||||
lg(z) и |
f(z)= |
g(z). |
Можно |
построить |
функцию |
h так, |
||
что |
|
f / \ |
\ |
f(X) |
При |
|
|
|
|
|
X < |
Z, |
|
||||
|
|
h (х) •==; |
\ . . |
|
. |
|
||
|
|
|
[ g (х) |
при |
x^z. |
|
||
Действительно, искомая функция может быть задана по средством алгорифма h такого, что
Л (*) = / (min {х, z)) + g (max (x, z)) — f(z).
220 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5
Нам понадобится в дальнейшем |
алгорифм |
б такой, |
|||
что для любого интервала х V у алгорифм 8*v у |
является |
||||
функцией, причем |
(рис. 8) |
|
|
|
|
|
|
0 |
при |
z^x, |
|
В(х V У, |
t) = |
z — х |
при |
х А у, |
|
у — х |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
при |
2 > г / |
|
Алгорифм с такими свойствами может быть построен двукратным применением леммы 1. Проще, однако,
воспользовавшись теоремами сочетания алгорифмов и арифметическими операциями, построить 0 как алго рифм, для которого выполняется
e c v F . . ) - ' - ' ^ ! ! : , 1 - " .
в) Алгорифм 0 позволяет без труда строить полиго нальные (кусочно линейные функции). Приведем необ
ходимые |
определения. |
Функцию |
f |
будем |
называть |
ли |
||||
О п р е д е л е н и е |
4. |
|||||||||
нейной |
на промежутке*) |
х%у |
(соответственно |
слева |
||||||
от х, |
справа |
от х |
и на |
всей |
оси), если |
осуществимы |
||||
КДЧ |
и, |
v |
такие, |
что |
при всяком |
z, |
принадлежащем |
|||
хХу |
(соответственно при |
всяком |
z ^ х, |
z ^ х и |
лю |
|||||
бом z), |
выполняется |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
f(z) |
= |
u-z+v. |
|
|
|
|
*) Напомним, что в тех контекстах, где речь может идти без различно о сегменте или интервале, мы употребляем термин «про межуток» и обозначение х X У-
|
|
|
|
|
|
|
ОСНОВНЫЕ |
ОПРЕДЕЛЕНИЯ |
|
|
|
|
|
221 |
||||||||||
|
КДЧ и я v будем называть соответственно |
угловым |
||||||||||||||||||||||
коэффициентом |
|
и |
свободным |
|
членом |
|
f |
на |
хХу |
(слева |
||||||||||||||
от х, справа от х, на всей оси). |
|
|
х%у |
|
|
и — ее |
|
|
||||||||||||||||
|
Очевидно, |
если |
/ |
линейна |
на |
|
и |
угловой |
||||||||||||||||
коэффициент на |
х%у, |
то |
свободный |
член f |
|
может быть |
||||||||||||||||||
найден как f(x)—и-х. |
|
Далее, |
|
если |
|
функция |
f |
линейна |
||||||||||||||||
на интервале х V у, то ее угловой коэффициент |
может |
|||||||||||||||||||||||
быть задан как -• |
|
_ |
^ ^ |
|
. Таким |
|
образом, |
для функ- |
||||||||||||||||
ции, |
линейной |
на |
интервале (или на сегменте положи |
|||||||||||||||||||||
тельной |
длины), |
легко |
находятся |
ее |
угловой |
коэффи |
||||||||||||||||||
циент и свободный |
член. |
|
Кортеж |
|
КДЧ |
|
|
|
хх*...*хп |
|||||||||||||||
|
О п р е д е л е н и е |
5. |
1) |
|
|
i |
< |
|||||||||||||||||
(п ^ |
|
2) |
назовем |
дроблением, |
|
|
если |
при |
1 ^ |
|
п |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х{ |
|
Х{ + |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
Дробление |
|
хх * . . . * хп |
|
назовем |
|
положительным, |
|||||||||||||||
если |
при |
1 ^ |
i < |
|
п |
|
Xi < xi + |
[. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3) |
|
Дробление |
|
Х\ * . .. * хп |
|
назовем |
|
|
рациональным, |
||||||||||||||
если |
|
все |
xt |
(1 ^ |
|
i ^ |
п) — рациональные |
|
числа. |
|
|
|||||||||||||
|
4) |
|
Дробление |
|
xi*...*xn |
|
|
назовем |
|
дроблением |
сег |
|||||||||||||
мента и А и, если |
|
и = Х\, v = |
хп. |
|
|
Х\ * . . . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
О п р е д е л е н и е |
6. |
Дробление |
|
* х п |
назовем |
||||||||||||||||||
определяющим |
дроблением |
|
функции |
f, |
если |
f |
линейна |
на |
||||||||||||||||
каждом |
сегменте |
х^ Д xi+\ |
(1 |
|
i < |
п). |
|
|
|
|
полиго |
|||||||||||||
|
О п р е д е л е н и е |
7. 1) |
Функцию |
|
f назовем |
|||||||||||||||||||
нальной |
на |
сегменте |
х Л у, |
если |
осуществимо |
|
дробление |
|||||||||||||||||
х А |
у, |
являющееся |
определяющим |
|
дроблением |
функ |
||||||||||||||||||
ции |
f. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2) |
|
Функцию |
f |
назовем |
|
полигональной |
|
на |
всей |
оси |
|||||||||||||
(или, |
|
короче, |
просто |
полигональной), |
|
|
если |
|
она |
полиго |
||||||||||||||
нальна |
на |
некотором |
сегменте |
х А |
у |
и |
линейна |
слева |
||||||||||||||||
от х и справа |
от у. |
|
Слово |
|
|
|
> * i * • • • * хп, |
vx |
* ... |
|||||||||||||||
|
О п р е д е л е н и е |
8. |
|
£/3 |
||||||||||||||||||||
. . . * y„_i назовем |
|
полигональным |
шифром |
функции |
f на |
|||||||||||||||||||
х А |
у, |
если |
хх |
* ... |
* хп |
— дробление |
|
х А |
у, |
|
|
являющееся |
||||||||||||
определяющим |
дроблением |
|
f, |
|
a |
vt |
|
|
(1 г£Г i ^ |
п—1) |
— |
|||||||||||||
угловые |
коэффициенты |
f на |
сегментах |
|
Xi A |
|
xi+\. |
|
том |
|||||||||||||||
|
Очевидно, |
функция |
полигональна |
|
на |
сегменте в |
||||||||||||||||||
и |
только |
в |
том |
случае, |
когда |
осуществимо |
слово, |
|||||||||||||||||