Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 212

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

222

КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

[ГЛ. 5

являющееся полигональным шифром этой функции на рассматриваемом сегменте. Полигональный шифр функ ции содержит всю необходимую информацию об этой функции как о полигональной; в этом плане соотноше ние между записью полигональной функции и ее поли гональным шифром примерно такое же, как между /••-числом и КДЧ (ср. § 2 гл. 2).

Предлагаем читателю в качестве упражнения дока зать, что сумма полигональных на х А у функций есть полигональная на х А у функция; другими словами, осу ществим алгорифм, строящий по полигональным шиф рам функций / и g на х А у полигональный шифр на х А у функции {/ + g}.

Те конкретные полигональные функции, которые мы будем использовать, будут задаваться с помощью поло жительных рациональных дроблений. Нетрудно убедить ся, что если Т = Х\ * ... * хп — положительное дробле ние, уи ..., уп — КДЧ, то алгорифм h такой, что

п-1

h (z) = ух + 2 (yt+i — Уд-® (Xi V xi+l, z),

является полигональной функцией с определяющим дро

блением	Т,	причем	h(z)—yi	при	z	хи	h(Xi)=yi
(1 ^ i ^	п)	и h(z)—	уп при	z ^	хп.	Таким	образом,

для каждого положительного дробления можно по строить полигональную функцию, для которой это дро бление является определяющим и которая принимает за данные значения в точках этого дробления.

г) Алгорифм sgn, построенный в § 4 гл. 1, является

конструктивной функцией.					Напомним, что sgn(x) = 1,
если	х	>	0,	sgn(x) == — 1,	если	х	< 0, и 1 !sgn(.*),
если	х	=	0.	Использование	КФ	sgn	позволяет строить

«ступенчатые» функции. Например, нетрудно построить

КФ g такую, что g(x)	~ 0	при х <	— 1, g(x)			= 1 при
— 1 < л: < 0, g(x)=^2	при	х > 0	и g	не	определена
в точках —1 и 0 (рис. 9).		(Последнее		обстоятельство,
ввиду теоремы о неразрывности КФ			(§	2),	не	является
случайным.)

д) Мощным средством построения конструктивных функций является теорема о полноте конструктивного континуума (гл. 3, § 2), позволяющая привлекать для

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ

223

таких построений сходящиеся функциональные последо вательности и ряды. Использование известных разложе ний дает возможность ввести в терминах конструктивных функций элементарные функции (тригонометрические, показательную, степенную и т. д.). Соответствующие конструктивные функции обладают характерными чер тами одноименных функций традиционного анализа. (С точки зрения традиционного анализа эти конструк тивные функции представляют собой алгорифмы, вычис ляющие данные элементарные функции в тех точках

					х
		Рис. 9.
(классического)		континуума,		которые	могут	быть		за
даны как КДЧ.)
Мы не останавливаемся подробно на этих вопросах,
отсылая читателя к книге			Г у д с т е й н а		[2] и к		работам
Ш а н и н а [6], С л и с е н к о			[2], З а с л а в с к о г о				и	М а
н у к	я н [1].
§ 2.	Свойства непрерывности.			Равномерно
непрерывные функции
1. Наиболее		специфическими свойствами				конструк

тивных функций являются свойства непрерывности. Пер

вый	существенный шаг	в установлении этих	свойств
был	сделан М а р к о в ы м	[3], [5], доказавшим,	что кон

структивные функции не могут иметь конструктивных

разрывов*).	Этот	результат	доведен до	логического
конца Ц е й	т и н ы м	[3]—[5],	показавшим,	что любая

*) Близкий результат был получен также М а з у р о м [1].

224

КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

[ГЛ. 5

конструктивная функция непрерывна во всякой точке,

вкоторой она определена.

Вэтом пункте приводятся упомянутые результаты Маркова и Цейтина. Формулируемые ниже теоремы 1—3 будут доказаны в девятой главе.

О п р е д е л е н и е

1) Будем

говорить,

что КФ f

имеет

конструктивный

разрыв в

точке

х0,

если

lf(x0)

осуществимы

ПДЧ

и натуральное

число

п0

такие, что

при всяком

а)

!/(а(п));

б) | а ( я ) - * о 1 < 2 - я ;

в)

\f(a(n))-f(x0)\>2-n\

КФ

будем

называть

неразрывной,

если

она

не

имеет конструктивных

разрывов.

Т е о р е м а

1 (теорема

А. А. Маркова

неразрыв

ности конструктивных

функций). Всякая

конструктивная

функция

неразрывна.

ПНЧ

со будем

называть

ре

О п р е д е л е н и е

гулятором

непрерывности

функции

в точке

х0,

если

\f(x0)

и при

любых

п,

таких,

что

\х — х0\<2-а^

\f(x),

выполняется

1 / W - / W K 2 " " .

2) Алгорифм W будем называть регулятором непре рывности функции f, если при любом х таком, что \f{x), алгорифм Wx является регулятором непрерывности f в точке х.


3)	КФ	назовем		непрерывной,			если осуществим алго
рифм,	являющийся			регулятором			непрерывности		f.
Т е о р е м а			2.	(теорема		Г. С. Цейтина		о	непрерыв
ности конструктивных функций). Всякая								конструктив
ная функция			непрерывна,		т. е. осуществим			алгорифм		21
такой,	что для любой КФ				f	алгорифм		является		ре
гулятором		непрерывности			функции		f.

Теорема 2 показывает, что всякая конструктивная функция непрерывна в сильном конструктивном смысле этого слова в любой точке, где она определена. В § 3 нам потребуется следующий более сильный вариант теоремы непрерывности, также принадлежащий Цейтину.

СВОЙСТВА

НЕПРЕРЫВНОСТИ

225

Т е о р е м а

3. Можно

построить алгорифмы

а, х

и у

так, что для

любой

КФ f

натуральных

m, п

если

!о(Е/3, от, п),

то о-(Е73> т> п) — интервал

МЕ/З, т> п);

2) если !т(£/3,

/и,

п),

то x(£f3> от,

/г)

—

рациональ

ное

число;

любого

КДЧ

х,

если !a(Ef3> т > п)> ' / М

для

л: а(£/3> т ,

п )> г о

\f(x)-x(m,

n ) | < 2 - m ;

4) (Зля

любого

КДЧ

любого

пг,

если

\f(x),

то

МЕ/3> х> m)>

Y(£f3>

*> m

) —натуральное

число, при

чем

МЕ/3, Y(E/3, *, от))

x<=cr(£f3. m, Y(E/3> *> от)).

Эта теорема, по существу, показывает, что для вся кой КФ f и любого m можно построить перечислимое


интервальное			покрытие области			определения		/	такое,
что для любого интервала				покрытия колебание / на этом
интервале не превосходит				2 _ т .
2. О п р е д е л е н и е				3. Пусть		КФ f	определена			в
каждой	точке сегмента х Л у.
1) ПНЧ		(о будем называть			регулятором		равномерной
непрерывности			f на х Д у,	если	при любых		х\,	х2 е	х Д у
и любом	п	таких, что \ Х\		— х2\|	<	2-<D<n>,	выполняется

]f(xl)-f(x2)\<2'n.


2)	/	будем		называть	равномерно	непрерывной		на
х А у,	если		осуществим		регулятор	равномерной		непре
рывности		f на		х Д у.
В связи			с теоремой о непрерывности конструктивных
функций		возникает вопрос о том, не является					ли всякая
всюду определенная, скажем на сегменте О Д							1, КФ рав

номерно непрерывной на этом сегменте. Ответ на этот вопрос отрицательный, в гл. 8 будут приведены при

меры функций,	не являющихся равномерно непрерыв
ными на О Д 1.
Устанавливаемые в этом пункте свойства			равномерно
непрерывных функций изложены		в основном в работе
З а с л а в с к о г о [4]. Для других		концепций	вычислимых

8 Б. А. Кушиер

226 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5

действительных функций аналогичные результаты были


установлены		Г ж е г о р ч и к о м			[2],	Л а к о м б о м [1] я
Г у д с т е й н о м			[2]. Все упоминаемые				ниже конструк
тивные	функции		предполагаются		всюду		определенными.
О п р е д е л е н и е 4.				Слово	вида		х А у *	3 * £63
назовем	равномерным			шифром	функции		f на	сегменте
х А у,	если	6 является		регулятором		равномерной		непре
рывности f на х А			у.

Равномерные шифры представляют собой естествен ные исходные данные для алгорифмов, связанных с рав номерно непрерывными функциями, — каждый такой шифр содержит исчерпывающую информацию о соответ ствующей функции как о равномерно непрерывной.

Доказательство следующей простой леммы предо

ставляется

читателю.

Л е м м а

1. Пусть х0*...*хп

(п ^

—

дробление

(г. е. х0 ^

х\

. . . sg: хп).

Каково

бы

ни

было

КДЧ

из сегмента х0 А

хп,

неверно,

что х

не

принадлежит

ни

одному

из

сегментов

Xi A

Xi+\.

Из леммы

1 без труда

следует

Л е м м а

Если

Ь\,

б 2 — регуляторы

равномерной

непрерывности

функции

на

х Д у

и у Л z

бз — такая

ПНЧ,

что

63 (0

= т а х ( б 1

( л + 1), б 2 ( п + 1)),

то бз

является

регулятором

равномерной

непрерывности

f на х А

4. Пусть

функция

f равномерно

непре

Т е о р е м а

рывна

на

сегментах

х А

у A z.

Тогда

разномерно

непрерывна

на сегменте х A

Данная теорема утверждает осуществимость алго рифма, строящего по равномерным шифрам произволь

ной функции	на х А у	и у A z	регулятор	равномерной
непрерывности этой функции на сегменте х A z.					Возмож
ность построения такого алгорифма легко				усматривает
ся из леммы 2.
Поскольку	всякая	линейная	на данном		сегменте

функция равномерно непрерывна на этом сегменте, то выполняется


С л е д с т в и е	1. Всякая	полигональная		на данном
сегменте функция	равномерно	непрерывна		на этом сег
менте (т. е. осуществим алгорифм,			перерабатывающий

Смотрите также файлы

Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf

Лурье, Г. Б. Основы технологии абразивной доводочно-притирочной обработки учебник.pdf

Маринов, И. А. Устройство и эксплуатация преобразовательных подстанций городского электротранспорта учеб. пособие.pdf

Межотраслевые связи и народнохозяйственные пропорции Восточной Сибири и Дальнего Востока..pdf

Мирзоян, Э. Н. Развитие учения о рекапитуляции.pdf

Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно