Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

СВОЙСТВА

НЕПРЕРЫВНОСТИ

227

полигональный

шифр

функции

в запись

регулятора

рав­

номерной

непрерывности

этой

функции).

О п р е д е л е н и е

5.

1)

Будем

говорить,

что КДЧ

г

ограничивает

f

на

х А

у,

если

всюду

на

этом

сегменте

1/(0

Кг.

2)

Будем

говорить,

что функция

f

ограничена

на

дан­

ном сегменте,

если

осуществимо

КДЧ,

ограничивающее

f

на этом

сегменте.

КДЧ

z

назовем

верхней

(ниж­

О п р е д е л е н и е

6.

ней)

гранью

функции

f

на х Л у,

если

при

всяком

t

е

е л А ( /

выполняется

f«)<z

(соответственно

f (t) ^

г).

О п р е д е л е н и е

7.

КДЧ

z

назовем

точной

верхней

(нижней)

гранью

функции

f на

х А у,

если

1)

z

является

верхней

(нижней)

гранью

f

на

х А

у;

2)

можно

построить ПДЧ

К такую,

что при

любом

п

и

X (п) е

х Л

у

z-f(X(n))<2-n

{соответственно f (k (п)) — z <

2~п).

Т е о р е м а

5.

Для

всякой

равномерно

непрерывной

на х А у функции

осуществимы

КДЧ,

являющиеся

точ­

ными

нижней

и верхней

гранями

этой функции

на

х А

у.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ограничимся

доказательством

Обозначим на все время доказательства через Р про­

извольный равномерный шифр х А

у *

£/3 * £^3> а ч е "

рез

„ — точки х +

• i (0 ^

i ^

2п).

Построим алгорифм 9I1

так, чтобы при любом слове Р

рассматриваемого типа и любом п выполнялось

(1)

Я» (Я,

п)=

max

f(tt,n).

0 < f < 2™

Очевидно, %Р есть

ПДЧ, причем ((1))

(2)

%l(P,

n +

\)^%1(Р,

п).

8*

228

КОНСТРУКТИВНЫЕ

ФУНКЦИИ

[ГЛ. 5

Построим

алгорифм 2I2

такой, что

%2(Р,

п ) ~ 6 ( л + l) +

G+(y — x)

(где

G+ — алгорифм,

удовлетворяющий

лемме

б

§

4

гл. 2), и докажем, что €р есть

регулятор

фундаменталь­

ности

ПДЧ

% } Р .

Фиксируем произвольное п и рассмотрим /, / такие,

что

i, i >

9l2 (Р,

п).

Предположим,

что

(3) .

|я'(Р,

0 - я У ,

л1>2-л -\

Не теряя

общности, можно

считать, что i > /. Тогда,

ввиду (2), (3), можно записать

(4)

Я1 (Л

£)-%1{Р,

})>2-п-\

Допустим

далее,

что

при

некотором

0 ^

п0

2'

имеет

место

(5)

21'(Л 0 = f(U.

i).

Из

(4) — (5)

тогда

получаем, что при всех 0 ^

/ ^

2/

f(tlb.t)-f(ti.i)>2-№-\

Это, однако,

невозможно, поскольку i

>

/ и

у — х ^

у — х #

<• 2-6{-п+{1

2J

^

2 0

+

^У~х)

Таким

образом,

если выполняется

(3),

то при

всех

О < k <

2»'

И'(Я,

i)¥>f(tk.t),

что противоречит теореме 3 §

4

гл.

2.

Следовательно,

(3) неверно и имеет

место

№(Р,

О - Я 1 (Л

/ ) | < 2 - " - '

<2~п,

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ

229

Алгорифм 913 перерабатывает всякое слово Р

рас­

Можно

показать,

что

это

КДЧ

и

является

точной

гранью f на х А

у.

С л е д с т в и е

2. Всякая

равномерно

непрерывная

на

данном

сегменте

функция

ограничена

на этом

сегменте

(т.

е.

осуществим

алгорифм,

перерабатывающий

равно­

мерный

шифр

данной

функции

на

данном

сегменте

в

КДЧ,

ограничивающее

эту

функцию

на

рассматривае­

мом

сегменте).

Предоставляем читателю доказать следующую тео­

рему.

Если

функции

fug

равномерно

не­

Т е о р е м а

6.

прерывны

на

х А

у,

то функции

{f +

g}, {f — g\,

{f • g},

{\f\}

равномерно

непрерывны

на

x Ay.

Если,

кроме

того,

осуществимо

п

такое,

что

| g ( 0 l ^ 2 _ n

всюду на

хАу,

то функция

равномерно

непрерывна

на

х А у.

мерно непрерывная КФ интегрируема по

Риману),

она

не является очень полной — в частности,

в § 2 гл. 8

бу­

достигающая

на

О А

1 своей

точной

верхней

грани.

Важным классом равномерно непрерывных функций

являются

монотонные функции.

О п р е д е л е н и е

8.

1) Функцию

f будем называть

возрастающей

(убывающей)

на

промежутке

х\у,

если

при любых

гх,

z2

из хХу

таких,

что zl

< z2,

выполняется

f(zi)<f(z2)

(соответственно,

f(zx)

>

/ ( г 2 ) ) .

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ

231

Следовательно,

можно

найти kn так, что

2 - й

«

<

min

(xi+i,n

—Xi,n).

Используя

(6) — (7)

и

лемму

1,

нетрудно

проверить,

что

при

хх,

( | | е

х Л

у

таких,

что

выполняется

U i

-

Ух К

2"*",

\f(xl)—f(yl)\<2-\

О п р е д е л е н и е

10.

Функцию

f

назовем

кусочно

монотонной

на

сегменте

х Д у,

если

осуществимо

дроб­

ление х0

* ...

* хп

этого

сегмента

такое,

что f

монотонна

на

каждом

сегменте

xt

Д х ш

(0 ^

i ^

п — 1).

Из теорем 4 и 7 вытекает

С л е д с т в и е

3.

Всякая кусочно

монотонная

на

дан­

ном

сегменте функция

равномерно

непрерывна

на

этом

сегменте.

3. Использование псевдочисел позволяет получить некоторые

интересные

результаты

о равномерно

непрерывных функциях — в

частности,

установить конструктивный

вариант

известной

теоремы

дены в § 3 гл. 3):

Ц\ <

<?2 =

ПН

3 « 6 V m (m

гэ^.,

(от) — c/i (m) >

2~k),

<7i

>

<?2 =

92 <

<7i,

<7i

>Qi

=

П (<7i < Q2),

<7i < ? 2

=

Чг>Чи

</i = < 7 2

=

V« П П 3mV« 0 >

m =>

I £, (/) - £2 (0 I <

2"") .

Равенство

между КДЧ

и

псевдочислами,

определенное

в §

3

гл. 3, можно также ввести, сопоставляя каждому КДЧ х

псевдо­

число O C H ( X ) 0

(СМ. п. 4 §

3

гл.

2).

Пусть

rXs — рациональный

промежуток. Естественным образом,

можно

говорить о

множестве

псевдочисел, принадлежащих

этому

промежутку.

Обозначим

возникающее таким

образом множество

через (г

X

s).

Дальнейшие рассмотрения будут проведены для краткости в

случае

КФ,

определенных

на

единичном сегменте. Упоминания

об

JTOM сегменте часто

опускаются.