Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

338

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

Напомним,

что Ф — у-ограниченное

покрытие

0 Д 1 ,

причем

Ф(л) =

г „ Д « „ . )

Обозначим

через

апАЬ„

сегмент гп

— 2~п~А Д

_|_ 2~п-4

Нетрудно

проверить, что при любом я алгорифм

Fln

является

полигональной

на

О Д 1 функцией, причем

эта

функция

линейна

на

сегментах

гп — 2 - " - 4

гп,

sn Д sn + 2~п -4 ,

равна

1 на сегменте Ф(я)

и обращается

в 0 вне сегмента

ап

Ьп.

Построим алгорифм F2 так, чтобы

Я ( я ,

х)= 1 - m i n f l ,

2 Я ( А ,

* ) ) .

Легко видеть, что гп — полигональная функция (опре деляющие дробления и угловые коэффициенты функции Р\ рациональны!), причем

(13)	на всей	оси	0^F2n{x)^\;
(14)	F2n обращается	в 0 на	сегментах Ф(0),	Ф(я);

(15)если х не принадлежит ни одному из сегментов

atAbi	( 0 < г ' < я ) ,	то	F2n(x)=l.
Построим	алгорифм	G1 ,	перерабатывающий	всякое я
в КДЧ, являющееся полигональным интегралом				F2n	на
О Д 1 (для чего предварительно нужно построить					алго

рифм, перерабатывающий всякое я в определяющее

дробление	PI).
Ввиду	(13),	(15)	и оценки
п.				п	а
£ \| а й	АЬк	\| = 2	\| <D(*)\| +		S 2~f t -3 < - ! + j =
получаем,	что
(16)			G'	(n)>j.

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ

339

Рассмотрим

алгорифм

F3 такой,

что

Я ( 0 , д ) ~ - ^ - . Я ( 0 , * ) ,

Я ( / г + 1 , х ) ^

. Я ( я + 1 , х ) .

Л 3

При

любом

Fп

является

полигональной

функцией,

причем

((12) —(16))

Р\ ( х ) < 4 • у (0)

(17)

на

всей

оси 0 <

и при

я > 0

O < F 3 „ W < 4

- (

Y ( « ) - Y ( «

1));

(18)

Р п

обращается в 0 на сегментах

Ф(0),

Ф(я);

(19)

у(0)

является

полигональным

интегралом

на

0 Л

(20)

при

я > 0

у (я) — у (я — 1) является полигональ

ным

интегралом

гп

на

0 Л

Построим алгорифм F так, что

*)==2яа я).

(21)

1=0

/ ч п ,

Ввиду

(18),

(21)

следствия

можно

построить

склейку

последовательности

F по

покрытию

Ф.

По

кажем, что />— искомая

функция.

Прежде

всего,

на

каждом сегменте

Ф(«)

(22)

(х) =

F (я,

Л;) =

2 ^3 (*'. *).

Поэтому ((17))

на любом сегменте

Ф(я)

0 < / 7

( * ) < 4 - Y ( 0 ) +

4 - (у (0 — Y

1)) =

4 • Y (")•

Следовательно, на

всей

оси

0 < / 7 ( х ) < 4 ,

т. е. /7 — неотрицательная

и ограниченная функция.

Далее для любого х

из ОД 1 можно

найти

щ,

п2

так,

что sn ,

= гп.

r n i ^ * ^ s n ! .

Тогда

Я ( / , х) =

при

340 СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ [ГЛ. 8

/ ^

тах(пи

п2)

и, следовательно,

U « =

п2)

Я(Л *) = 2 Я (/, x) = F (/, х).

max (fti,

1=0

Поэтому при любом х из 0 Л 1

( 2 3 )

f7(x) является

пределом ПДЧ

Рп(х).

Пусть

/ — произвольный

обобщенный

интеграл.

Предположим, что существует

КДЧ z такое, что

(24)

I(f7,z).

Ввиду

( 1 7 ) и ( 2 4 ) при любом х и п

(25)

F(n,

x)^f7(x).

( ( 1 9 ) — ( 2 1 ) ) ,

очевидно, у(п) является

поли

гональным

интегралом

Рп на 0 А 1 и поэтому

выпол

няется

(26)

ПРп,у(п)).

Из ( 2 4 ) — ( 2 6 )

(пользуясь монотонностью

и аддитив

ностью /) получаем при любом п

у (п) ^

Поскольку

у эффективно не сходится,

можно

найти

натуральное число N так, что всегда

(27)

у ( я ) 0 - 2 - Л Г .

Предположим

теперь,

что существует

такое, что

при любых п ^

/о и т

(28)

y(m +

n)-y(n)<2-N-3.

Тогда при любом k ( ( 2 7 ) ,

( 2 8 ) )

U.+k+\

F*{l,x)

< 4

2 Y ( 0 - Y ( * - 1 )

i=U+l

i=h+\

4 - ( Y ( / 0

+ ^ + 1 ) - Y ( / O ) ) < 2 - A ' - 1 .

Следовательно, при любом k

F(l0-\-k+l,

x)^F(l0,

x) + 2~N-1.

	ТЕОРЕМЫ НЕВОЗМОЖНОСТИ		АЛГОРИФМОВ	341
Отсюда	согласно (23) получаем
(29)	f7{x)<F{lo,x)	+	2-N-x.

Но тогда по свойствам перманентности и аддитивности интеграла / и (24), (26), (29)

г < у ( / о ) + 2 - " - ' ,

что противоречит (27).

Следовательно, из предположения об интегрируемо сти /7 вытекает, что

"13/Vmrt (л > / гэ (у (га + л) - у ( " X 2~w ~3 )).

Это, однако, невозможно из-за ограниченности последо

вательности у (ср. доказательство теоремы							4 § 3 гл. 3).
С л е д с т в и е		3.	Функция	/> неинтегрируема по				Ри-
ману на О	А1.		Функция	fj	не	является	равномерно
С л е д с т в и е		4.
непрерывной	на	OA 1.
С л е д с т в и е		5.	Функция	/7	не	имеет	первообразной
на О Д 1.
В связи	со следствиями 3—5				интересно		заметить,	что

f7 не является ни эффективно неравномерно непрерыв ной, ни эффективно неинтегрируемой по Риману функ

цией	(это можно усмотреть	из оценок (25)	и (29)).
В	работе З а с л а в с к о г о	и Ц е й т и н а	[2] можно

найти ряд других интересных примеров конструктивных функций с необычными свойствами.

§	3. Невозможность некоторых алгорифмов, связанных
с	интегрированием

Материал этого параграфа заимствован в основном из работы автора [9]. Через Ф мы по-прежнему обозна чаем некоторое точное сегментное дизъюнктное рацио нальное -|--ограниченное покрытие 0 Д 1 , при этом

концы сегмента Ф(«) обозначаются посредством rn, sn. Мы сохраняем также обозначение функции <р, приведен ное в начале § 2.

1.	О п р е д е л е н и е 1.	Пусть	f — функция,	F — по
следовательность функций.		Будем	говорить, что		алго
рифм	у моделирует алгорифм 25		посредством	F	и f

Смотрите также файлы

Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf

Лурье, Г. Б. Основы технологии абразивной доводочно-притирочной обработки учебник.pdf

Маринов, И. А. Устройство и эксплуатация преобразовательных подстанций городского электротранспорта учеб. пособие.pdf

Межотраслевые связи и народнохозяйственные пропорции Восточной Сибири и Дальнего Востока..pdf

Мирзоян, Э. Н. Развитие учения о рекапитуляции.pdf

Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно