Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 167

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2]

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ

329

Функцию

\ч строим

как

склейку

последовательно-

сти F:

F(n, х) ~

у(п)

• Н(п,

х).

 

 

 

Очевидно, на каждом сегменте Ф(п)

0 < M * X v ( « ) ,

откуда при любом х е О Д 1 получаем 0 ^ / 2 ( * ) < !• Далее при каждом п

Если бы существовало КДЧ, являющееся точной

верхней гранью

/2 на О Д

1, то у сходилась бы к этому

КДЧ, что невозможно.

 

Совершенно

аналогично

можно построить функцию,

не имеющую на О Д 1 ни точной верхней, ни точной ниж­ ней грани. Заметим также, что если в качестве у взять шпекерову ПРЧ, допускающую понижающий алгорифм

(см. § 1), то для / 2 можно построить

алгорифм,

пере­

рабатывающий

всякую

верхнюю грань / 2 на 0

Д 1 в

меньшую верхнюю грань.

 

 

Т е о р е м а

5 (пример

ограниченной

функции,

имею­

щей точную верхнюю грань, но не достигающей ее).

Можно

построить

функцию

/з так, что всюду

на

О Д 1

О ^ /з (х) <

1 и осуществима

последовательность

р

ра­

циональных

чисел

из О Д

1 такая, что /з(Р(я)) = 1 — 2 - п .

(Таким

образом,

1 является

точной верхней

гранью

f3

на О А

1.)

 

 

 

качестве f3 можно

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

взять

склейку

последовательности

F такой, что

 

 

 

прерывна на ОД 1. Ценою некоторого усложнения дока­ зательства теорему 5 можно доказать в классе равно­

мерно

непрерывных

функций.

 

 

 

Т е о р е м а 6

(пример

равномерно

непрерывной

функции, не достигающей на

О Д 1 своей

точной верх­

ней грани). Можно

построить

функцию

/4

так, что

1)

f4 равномерно

непрерывна на О Д

1;

 

2)

0 < М * ) < 1 на О Д 1;

 

 

 

330

СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ

 

 

 

[ГЛ. 8

3) осуществима ПРЧ

р такая,

что при

любом

п

и

Р (га) е= 0 Д 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МР(л))> 1 - 2 - " .

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Воспользуемся

изящной

кон­

струкцией Л а к о м б а

[4]. Пусть

W

есть

-ограни­

ченное

рациональное

интервальное

покрытие

 

0 Д 1 .

Рис. 19.

Обозначим через а„, Ьп концы интервала Ч'(га) и рас­ смотрим последовательность функций F такую, что (рис. 19)

F(n,

х) = 1 — Q {ап А Ьп, х).

Очевидно,

 

(5)

0<F(ra, х ) < 1

и при х<

 

(6)

F(n,x)<l.

Рассмотрим функциональный ряд

2^ 2 г . - < - 1

В силу (5) этот ряд равномерно сходится, и, следо­ вательно, можно построить равномерно непрерывную функцию fit являющуюся его суммой.

Функция f4 искомая. Действительно, поскольку каж­ дый х из ОД 1 принадлежит некоторому интервалу^(Z),

КФ С НЕОБЫЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ

331

то ((5) —(6)) на О А 1 0 < / 4 ( х ) < 1 .

Далее при каждом п можно найти (последователь­

ность

у

ограничена!)

рациональное

число

/„ так, что

для i sc;

п

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

h (Q > 21 2 " ' - 1

= 1 - 2 - " - ' > 1 -

2~п,

 

 

{=0

 

 

 

что и требуется.

 

 

 

В связи

с доказанной

теоремой интересно

вернуться

к результатам Лакомба,

упомянутым

в п. 3 § 2 гл. 5

(см. также

Л и ф ш и ц [4]). Эти результаты

проясняют

характер «патологии» функции /4 , показывая, что f4

(точнее,

продолжающий

ее оператор над псевдочисла­

ми— см.

п. 3 § 2 гл. 5)

достигает своей верхней грани

на непустом замкнутом множестве псевдочисел, не имеющем изолированных точек.

Нетрудно убедиться, что неравномерно непрерывная функция ft, построенная в доказательстве теоремы 3, локально равномерно непрерывна, т. е. для каждого х можно указать некоторую его окрестность, в которой ft равномерно непрерывна. Пример ограниченной функ­

ции, не обладающей этим свойством, дается

следующей

теоремой

( З а с л а в с к и й ,

Ц е й т и н [2]),

доказатель­

ство

которой

мы

опускаем.

 

 

 

 

Т е о р е м а

7. Можно построить

функцию

f$ так, что

1) на

всей

оси

О sg: fs (х)

sg;

1;

 

 

 

2)

fs

эффективно неравномерно

непрерывна

на лю­

бом

невырожденном

сегменте,

включенном

в

0 А 1 .

В работе автора [3] показано, что функция, удовлет­ воряющая теореме 7, может быть интегрирумой по Риману на 0 А 1 . Отметим также, что если предыдущие теоремы сохраняются для класса бесконечно дифферен­

цируемых

функций*),

то функция

из теоремы 7 не

 

*) Вообще говоря, свойства гладкости не очень

приближают

конструктивные функции к

классическим

непрерывным

функциям.

В

работе автора [2] построен пример неограниченной,

непрерывной

в

замкнутом

единичном круге, аналитической внутри него конструк-

332

СИНГУЛЯРНЫЕ ПОКРЫТИЯ

[ГЛ. 8

может

быть дифференцируемой

на

О Д 1 (легко

видеть,

что дифференцируемая на 0 Д 1

функция локально рав­

номерно непрерывна на ОД 1).

 

 

 

4.

Использование сингулярных

покрытий позволяет

получить примеры неинтегрируемых функций. Ниже, до

конца главы,

мы будем

предполагать покрытие Ф

сингу-

 

 

 

 

 

1

 

 

лярным,

для

определенности,

-ограниченным.

 

О п р е д е л е н и е

4.

Будем

говорить,

что колебание

функции

f на

сегменте

х А у

не меньше

е, если

можно

указать

КДЧ

zu z2

из хАу такие, что

 

 

! / ( z , ) - / ( z 2 ) l > e .

О п р е д е л е н и е

5.

Будем

говорить,

что

функцияf

эффективно

неинтегрируема

по

Риману

на

0 Д 1 ,

если

существует

натуральное

число

k

и

последовательности

W\ W2

интегральных

сумм f

на

О Д 1 такие,

что

 

при

любом п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

n{Wl{n)),

n(W2(n))

<

2~п

 

 

 

 

 

 

Ш1{п))-№2{п))\^2-к*).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

1 ( К у ш н е р

[9]). Пусть

f — функция,

k —

натуральное

 

число

 

такие,

что

колебание

f

на

любом

сегменте

Ф(п)

не

меньше,

чем

2~k. Тогда

f

эффективно

неинтегрируема

по

Риману

на ОД 1.

 

 

 

 

 

у,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

построить

алгорифм

перерабатывающий

всякое

рациональное

г

из

0 Д 1

в

натуральное

число так,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г е Ф ( \ ( г ) ) .

тивной функции комплексной переменной. Далее, А. А. Марков ука­ зал построение аналитической и неограниченной на О Д I конструк­ тивной функции (действительной переменной). Естественным завер­ шением этих результатов является недавно найденный Л и ф ш и- ц е м [5] пример конструктивной функции (комплексной переменной), аналитической на всей плоскости и неограниченной на 0 Д 1 . (Ана­ литичность трактуется здесь как возможность для каждой точки указать некоторую ее окрестность и степенной ряд, в который раз­ лагается данная функция в этой окрестности.)

*) См. § 1 гл . 7.

Смотрите также файлы