Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

конструктивных метрических

пространств

1. О п р е д е л е н и е

1.

Пусть

Ж—

множество

слов

в

алфавите

А,

р — алгорифм

типа (Жг—*^>)

(т. е. р

пе­

рерабатывает

всякое

слово

вида

X,

Y, где

X и

Y —

эле­

менты Ж,

в КДЧ).

Список

М

(1)

[Ж,

р}

назовем

конструктивным

метрическим

пространством

(КМП)

в

алфавите

А,

если

для

любых

слов

X,

Y, Z

из Ж

выполняется

1)

р(Х,

Х) =

0\

2)

р(Х,

Y)^p(X,

Z)-\-p(Y,

Z)

{аксиома

треуголь­

ника)

*).

О п р е д е л е н и е

2. Алгорифм

р

будем

называть

ме­

трическим

алгорифмом

КМП

(1),

а

множество

Ж — но­

сителем

этого

КМП.

Слова,

принадлежащие

множе­

О п р е д е л е н и е

3.

ству Ж,

мы

будем

называть

элементами

или

точками

КМП

(1)

(запись

ХевМ).

Элементы

X

и

Y КМП

(1)

назовем

эквивалентными

(различными)

в

М,

если

о(Х, Y) =

0

ШХ,

Y) ф

0)

(запись

X =

Y

и

X Ф

У).

м

м

Таким образом, записи

X

e l

и I

G

M

равнозначны.

Аналогично, вместо записи Ж\ s

Ж будет

часто исполь­

зоваться

запись Ж\

М.

Из аксиом метрического пространства легко вытекает

Т е о р е м а

1. Каковы

бы

ни

были

точки

X,

Y,

Z\,

Z2

КМП

(1)

1)

р(Х,

К ) > 0 ;

2)

p(X,Y)

=

p(Y,X);

3)

если

X =

Y,

ZX

=

Z2,

то р(Х,

Zx)

=

p(Y,

Z2).

м

м

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП

359

г) Пространства

Еп и Е'п. Носитель этих пространств

тот же, что и у Еп,

а в качестве

метрических

функций

берутся алгорифмы pi и р2 , для которых

п

И

р, (х„ . . . .

хп,

уи

уп) «= 2I Xi

— yt

I

p2 (*,, . . . ,

xny

yu ..., yn)=~

max

| xt

— yt

|.

Проверка условий 1) — 2)

определения

1 очевидна. Ясно,

1

су

что Е\ и Е\ совпадают с Е\.

д)

Пространство

С равномерно

непрерывных на еди­

ства

является

множество

W слов вида £f3 * £63. где f —

всюду определенная

конструктивная

функция, б — ее ре­

гулятор

равномерной

непрерывности

на сегменте О Д 1

(ср. определение равномерного шифра

в § 2 гл. 5). Мож­

но построить

(§ 2 гл. 5) алгорифм р, перерабатывающий

любое

слово

вида £/,3 * £6,3, £7гЗ * £62 3, г Д е

£fi3 * £6 i3

и £/23 * £623 принадлежат W, в КДЧ, являющееся точной

верхней

гранью функции

|/, — / 2 | на 0 Д 1 . Итак,

(2)

p(£7,3*£6,3, £723 * £ 6 2 3 ) = max

( I M * ) - M * ) D -

0 < х < 1

Этот

алгорифм и берется

в качестве

метрического алго­

рифма

пространства

С.

Обращаем

внимание

читателя

ра: 1) в отличие от

одноименного классического

про­

странства

(см., например, К о л м о г о р о в , Ф о м и н [1]),

вместо непрерывных

рассматриваются

равномерно

не­

прерывные

функции

(непрерывные

конструктивные

360

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

Т р а х т е н б р о т [1], У с п е н с к и й [1]) бэровскому

про­

странства

В является

множество

$

записей

ПНЧ, а ме­

трический

алгорифм р строится так, что для любых

ПНЧ ссь а 2

P ( E « I 3 . Еа23) =

_ ( 2~k,

если

а, (/) =

а2 (/)

при

i < k

и

щ (k) Ф а2 (/г),

' 0,

если

а,(/) =

а2(г)

при любом

L

Наметим

построение р. Построим

сначала

алгорифмы р

и у так, чтобы

__(

п,

если

а, (г) =

а2

(г)

при

O^i^in,

1 H I (°i (0 ^

а 2 (0)

в противном

случае;

причем

алгорифм

Id (Id (я) =/г )

является

регулятором

фундаментальности

этой

ПРЧ .

Поэтому

алгорифм

р

такой, что

Р(Е«>3, E a 2 3 ) = E Y £ a , ? i ? a 2 3 3 E O E l d 3 ,

задает интересующую нас метрику*).

Очевидно, для любой ПНЧ a

р(Е<в, Еов) =

о.

Проверим для р аксиому треугольника. Пусть a b

a2 ,

a3 — ПНЧ. Предположим,

что

p(E«i3. М

) > P(E«i3» ЕазЗ) + р(Еа2 3, Е<*зЗ)-

Тогда можно найти натуральное I такое, что

p(E<*i3. Ea2 3)>p(Ea,3,

Ea33) +

P(Ea23, Ea33) + 2~'.

*) В данном конгексте обозначения

типа ft p

и Е^З

следует

понимать

так же,

как

и

в первых восьми

главах

(см.

стр. 113),

т. е. рассматривая

вместо

алфавит

Ча

(в котором, в

частности,

определялись П Р Ч ) . В

дальнейшем

очевидные

замечания этого

рода опускаются.