Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

§ 1]

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП

365

а)

Pl(Xh Х2) =

р2(а1(Х1),

щ(Х2));

б)

а, (6, (Y)) =

Y.

но М2. Тогда для любых

Yu K 2

e A f 2 и I

G

M

,

PI (PI (Y,),

p, (Y2)) =

p2 (a, (p, (Y,)),

щ (P, ( У 2

) ) ) =

p2

{Yu

Y2)

и

p, (p, (a, (X)), X) = p2

(a, (P, (a, (X))),

щ (X))

=

= р2(щ

(X), a, (X)) =

0,

т. e. p,(a,(J0) = Z. Полученные

равенства

доказывают,

что M2 изометрично Мх. Пусть М{ изометрично М2, М2

изометрично М3, причем

изометрия от М1

к М2

осуще­

ствляется

алгорифмами

щ, р(, а от

М2

к М3

—- алго­

рифмами а2 , р2. Построим алгорифмы аз, Рз так, что при

любом

слове Р

.

а3(Р)~а2(щ(Р)),

Рз(Р)~Р,(Р2 (Р)).

Тогда при любых Х1г

Z 2

e M ,

и Z e M 3

имеем

Pi(Xt,

^ 2 ) =

p2 (aI (Z1 ),

cti№)) = p3 (a2 (a, (*,)), а2(щ(Х2)))

=

=

Рз(аз№) . Оз№)),

p2 (a,(pI (P 2 (Z))),

p 2

( Z ) ) =

0.

Следовательно,

p3 (a2 (a1 (p1

( p 2 ( Z ) ) ) ) , a 2 ( p 2 ( Z ) ) ) = 0,

P3 (a3(P3 (2)),a2 (p2 (Z))) =

0;

отсюда ввиду того, что

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП

367

Поэтому

I P ( / I ) - P ( / 2 ) I < 2 - " ,

что и требовалось.

Перейдем к доказательству теоремы 5.

Пусть М = [Ж, р} — КМП. Обозначим через Ж\

мно­

лярных

последовательностей

точек

М.

Это

множество

и будет

носителем

строящегося пространства.

Примем

следующее

обозначение:

если Р — запись

алгорифма, то {Р)

обозначает

этот

алгорифм. Построим

алгорифм

91 так,

что для любых

двух

элементов Ри Рг

множества

Ж\

% (Л, Р2,

п) ~

р «Р,> (я +

1), (Р2 > (я +

1))

универсальный алгорифм).

Очевидно, при Pi, Р2^.Ж\

алгорифм

91/>,,Р г *) яв­

ляется последовательностью

КДЧ, причем в силу лем­

мы 1

алгорифм Id является

регулятором

фундаменталь­

ности

этой последовательности. Пусть lim — алгорифм,

р ( Р 1 , Р 1 ) =

0.

Далее

при любом я и Р ь

Р 2 , Рг е Ж\

((Л>>

Переходя

здесь к

«Л>

(Я), (Р3)

(")) + Р

(Я), (Р3> («)).

P ((Pi)

(").

</>2> («)) < Р

пределу по я,

получаем

p 1 ( P „ P 2 ) < p 1

( P „ P 3 )

+ Pi(P2 , Р3 ),

т. е. аксиому треугольника. Итак, М\ =

{Ж\,р\} — кон­

структивное метрическое

пространство. Покажем, что M i

368

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

чтобы для любого слова

Р

и любого п выполнялось

F(P,n)=^P.

Очевидно, если

Д

то

Рх — регулярная последо­

слов

вида

£/^3. где Х^Ж.

Очевидно,

Ж2<=ЖХ,

и

по­

этому

М2

= {Жч, Pi} — подпространство

М ь

Обозначим

на время доказательства Рх (где X е= Ж)

через {X}. Изо-

метричность пространств М и М2 очевидным

образом

следует

из

равенства

(4)

Р , ( £ № } 3 .

£ №}3) =

Р ( * „ * 2

) >

которое

выполняется

при

всех Хх,

Х2^М,

Далее,

для

(5)

Р , ( £ {

а ( л + 1)}3, £ а З )

< 2 - " - '

<2~\

откуда

следует,

что М2 плотно в

Мх.

о полноте

КДЧ (§ 2 гл. 3).

Построим алгорифм

33

так, чтобы для любой регуляр­

ной последовательности 8

точек Mi выполнялось

(6)

33 (£93, п)~

(6 (п+ 1)>(я + 2)

(7)

и т ( £ 8 3 ) ^ £ 2 3 £ е в З .

Покажем,

что Lim является

алгорифмом

предельного

ж,

перехода

в пространстве Мх.

Фиксируем

произвольную

<8(n))(m)

через Хп, т ,

( )

Е{(6(л)>(т)}3

через Qn,m.

В обозначениях (8) формула

(6) примет вид

(9)

^ х п + и п + 2 .

Выполним

некоторую оценку. Пусть т, п, / ь / 2 — про ­

извольные числа, причем т^п.

Согласно (5)

<

Pi (Qn, v 0

( " ) ) + P. (Qm,e

(«)) +

Pi (6 («). в И ) <

< 2"'" + 2~'2 + 2~\

Отсюда, ввиду

(4), получаем при m ^

п

(10)

р (Хп, h , Хт, I,) <

2_ / ' + 2"/2 + 2_".

«

п

Следовательно, при

Р

гг+2>

т + г ) <

2

+2

+2

=2

Поэтому ((9)) 33^63 — регулярная

последовательность

М,

ЛГ,

и покажем, что 0 сходится

(в

к Р.

Фиксируем произвольное

п. Согласно

(8) и (10) при

любом

Р ((о (л)> (/+1), <р> а + D ) = р (хп,г + 1 , хг + 2 , ,+ 3 ) <

<2~'~1

+ 2~/~3 + 2~',•