Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 154

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ

КМП

 

361

Если

при

0 < г ' < /

а, (/) = а2

(i), то

р(£щЗ,

£а2 3)< 2

,

что невозможно. Следовательно, можно найти

 

такое,

что

а, (/) =т= а2 (/)

при

/ < k

и

а! (к) Ф а2

(k).

Но

тогда

a3(k)^ax(k)

или

а3 (£) #

сс2(&).

В первом

случае

p(E<»i3, Ea 3 3 )>2 - f t ,

во втором

рСЕ^гЭ. Ы3)>2~к.

И

то

идругое, однако, невозможно, поскольку р (£а,3, £а2 3) =

=2~к. Следовательно,

р ( К З . Eaa3)<p(£ai3. М ) + р(£а2 3, £а3 3),

что и требовалось.

Ясно, что две ПНЧ тем ближе друг к другу в бэровском пространстве, чем больше начальный отрезок зна­ чений аргумента, на котором они совпадают. В частно­ сти, эквивалентность двух ПНЧ как элементов бэровского пространства означает их совпадение при всех значениях аргумента.

2. Введем теперь некоторые понятия, связанные с предельным переходом и сепарабельностью КМП. Че­

рез М мы по-прежнему будем обозначать

 

КМП

 

(3)

 

 

 

 

АГ=={^Г, р}.

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е

6. Пусть

В — последовательность

то­

чек М (т. е. алгорифм,

перерабатывающий

 

всякое нату­

ральное

число

в элемент М), X — точка

М.

 

 

 

1)

Назовем

последовательность

6

фундаментальной,

если можно

построить ПНЧ

а

(регулятор

фундаменталь­

ности В)

такую, что при любом

п и m, I ^

 

а{п)

 

 

 

 

 

р(р (т),

6 (/))<

2~\

 

 

 

 

 

2)

Назовем

В регулярной,

если

при

любых

т~^п

 

 

 

 

 

р(В(т),

В ( « ) ) < 2 - ' г .

 

 

 

 

 

3)

Скажем,

что 6

сходится

 

к X

(или

что X

является

пределом

В),

если

можно

построить ПНЧ

 

б

(регулятор

сходимости

р, к X)

так, что при

любом

п

и

т ^

б (я)

 

 

 

 

 

 

р ( * , Р ( т ) ) < 2 - п .

 

 

 

 

 

4)

Скажем,

что р

регулярно

сходится

к

X,

если

при

любом

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9(Х,£(п))^2-п

362

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

(т.

е.

тождественный

алгорифм

является

регулятором

сходимости |3 к X).

 

 

р назовем сходящейся,

 

 

5)

Последовательность

 

если

она

сходится к некоторой

точке

Х е Ж

 

 

 

Ясно, что из регулярной сходимости р к X следует

сходимость р к X и что

если р — регулярная последова­

тельность, сходящаяся

к X,

то р регулярно

сходится

к X.

 

Нетрудно доказать, что свойство быть пределом

данной

последовательности

инвариантно

относительно

эквивалентности в М и что предел определяется един­

ственным

(с

точностью

до

эквивалентности в

М)

обра­

зом; другими

словами,

выполняется

 

 

 

Т е о р е м а

2. Пусть

р — последовательность

точек

М,

1 Ё Д

F e

l .

 

и X = У, то р сходится

 

 

1)

Если

Р сходится

к X

к

Y.

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

2)

£слы р сходится

к X

и

р сходится к Y, то X =

Y.

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

Мы, как

правило,

вместо

произвольных

фундамен­

тальных и сходящихся последовательностей будем рас­ сматривать регулярные и регулярно сходящиеся после­ довательности. Ограничение такими последовательностя­ ми соответствует фиксации тождественного регулятора фундаментальности и сходимости и позволяет несколько упростить изложение. Вместе с тем оно не является

очень

существенным,

так как,

с

одной стороны, нас

не будут интересовать

регуляторы

фундаментальности

(или

сходимости) каких-либо

конкретных последова­

тельностей, а с другой, по любой фундаментальной по­ следовательности, располагая ее регулятором фундамен­ тальности, можно построить ее регулярную подпоследо­ вательность, причем если исходная последовательность сходится к некоторой точке, то построенная подпоследо­ вательность регулярно сходится к той же точке. Послед­ нее обстоятельство позволяет переходить от алгориф­ мов, определенным образом работающих на записях регулярных последовательностей, к аналогичным алго­ рифмам, использующим в качестве исходных данных пары: фундаментальные последовательности вместе с их регуляторами фундаментальности. После сказанного чи­ тателя не удивит принимаемое нами несколько узкое на первый взгляд определение алгорифма предельного пе­ рехода.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЯ,

ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП

 

363

О п р е д е л е н и е

7.

1)

Алгорифм

а

назовем

алгориф­

мом слабого

предельного

перехода

в

М,

если

он

пере­

рабатывает

запись

любой

регулярной

 

сходящейся

 

после­

довательности

точек М в

точку М, к

которой

сходится

эта

последовательность.

 

 

 

 

 

 

2)

Алгорифм

а назовем

алгорифмом

предельного

пе­

рехода

в КМП

М, если

он перерабатывает

запись

 

всякой

регулярной

последовательности

точек М

в

точку М,

к которой

сходится эта последовательность.

 

 

Вводимые ниже слабо полные КМП впервые рас­

сматривались М о с к о в а к и с о м

[1] (здесь

и в

дальней­

шем мы отвлекаемся от несущественных технических различий между КМП и изучаемыми Московакисом ре­

курсивными метрическими

пространствами). О р е в к о в

[5] называет слабо полные КМП

L-правильными.

 

 

О п р е д е л е н н е е .

1)

КМП

назовем

слабо

полным,

если для него можно построить

алгорифм

слабого

пре­

дельного

перехода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

КМП

назовем

полным,

если

для

него

можно

по­

строить алгорифм

предельного

 

перехода.

 

 

 

 

 

Таким

образом,

в

полном

КМП

все

регулярные

(а следовательно, и все фундаментальные)

последова­

тельности сходятся,

что, вообще

говоря,

не

имеет

места

в случае слабо полных

КМП.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вполне очевидны следующие две теоремы.

 

 

 

Т е о р е м а

3. Всякое

полное КМП слабо

полно.

 

Т е о р е м а

4.

Всякое

правильное

подпространство

слабо

полного

КМП

слабо

полно.

 

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е

9.

1)

Слово

вида

Х*п

(Х**п),

где

X — точка КМП

(3), п — натуральное

число,

будем

на­

зывать

шаром

(замкнутым

шаром)

пространства

М.

2)

Точку

X

назовем

центром

шара

 

Х*п

( Х * * п ) ,

а число 2~п

— его

радиусом;

 

М будем

 

 

 

 

 

3)

Про

точку

Y пространства

говорить,

что

она принадлежит

шару

Х*п

(Х#*п),

если

р(Х,

Y)

<;

2 _ п

(соответственно р(Х,

Y)

^

2 _ п ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

Будем

говорить,

что шар

(замкнутый

или

нет) S

вложен

в

(замкнутый

или

 

нет) шар

Su

 

если

всякая

точка

F e A l , принадлежащая

S,

принадлежит

и

S\.

 

Для обозначения принадлежности точки Y шару S и

включения

шара

S

в Si мы

будем

использовать

запись

Y <=S

и S s S j .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

364

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

Из

теоремы 1 очевидным

образом

следует,

что мно­

жество точек, принадлежащих данному шару

(замкну­

тому шару), является

правильным.

 

 

 

О п р е д е л е н и е

10.

1)

Пусть Ж\,

Ж2— два

множе­

ства точек

КМП (3).

Будем

говорить,

что Ж\

плотно в

Ж2, если осуществим

алгорифм

а

такой, что для

любого

шара

S с центром в

Ж2

!а(5) ,

cc(S)<=Jfi и

a ( 5 ) e S .

2)

Будем

говорить,

что множество Ж\ плотно в КМП

М, если Ж\

плотно в носителе

М.

 

 

 

 

3)Подпространство М{ КМП М будем называть

плотным

в А1, если

носитель

М\ плотен в М.

 

 

 

Нам будет особенно интересен случай, когда данное

множество

имеет

перечислимое

плотное

подмножество.

О п р е д е л е н и е

11.1)

Множество

Ж\ точек КМП М

назовем

сепарабельным

в

этом

КМП,

если

можно

ука­

зать перечислимое

 

множество

Ж%<=,Ж\,

плотное

в

Ж\.

2)

КМП

М назовем

сепарабельным,

если

осуществи­

мо перечислимое

 

множество

элементов

М, плотное

в М.

Более

подробно

определение

11

можно

высказать

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

Множество Ж\

назовем

се­

О п р е д е л е н и е

11'. 1)

парабельным

в М, если

можно

построить

алгорифмы

а

и р так, что а

перечисляет

 

некоторое

подмножество

Ж\,

Р перерабатывает

всякий

шар S

с центром

в Ж\ в нату­

ральное

число

так, что ! a ( p ( S ) )

и a(P(S)) E S .

 

 

2)

КМП

М назовем

сепарабельным,

если

можно

по­

строить алгорифмы

а к

р так, что а

перечисляет

неко­

торое

подмножество

носителя

 

М,

a

р

перерабатывает

всякий

шар

S

в натуральное

 

число

так, что Ia(P(S)) и

a(p (S))€=S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим, что если множество Ж\ содержит хотя

бы

один элемент, то алгорифм а в условии

 

1)

определе­

ния 1Г можно, не теряя общности, считать

арифмети­

чески

полным

(т. е. применимым

к любому

натураль­

ному

числу).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичное замечание можно сделать и по поводу

условия

2)

определения 11'.

 

 

 

 

 

 

 

 

Мх =

О п р е д е л е н и е

12. Будем

говорить, что КМП

= {Ж\, р\} изометрично

КМП

М2 =

{Ж2, р2 }, если

можно

построить

алгорифмы

а ь

Pi

соответственно

типов

(Ж\ -*Ж2)

и (Ж2-*Ж\)

так, что при

любых

Xlt

Х2

е

е All и У ^

А12

выполняется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы