Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

374 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9

Последнее означает, что 21(£РЗ)енр(л).

Теорема доказана.

Нетрудно показать, что, располагая алгорифмом 91, фигурирующим в теореме 6, можно построить алгорифм предельного перехода в М и тем самым доказать пол ноту этого пространства. Ясно также, что в теореме 6 могли бы вместо регулярных фигурировать любые вло женные последовательности замкнутых шаров, для ко


торых	соответствующие				последовательности			радиусов
(конструктивно)				сходятся	к	0.	При этом в качестве ис
ходных	данных		алгорифма			91 выступали бы		слова	вида
£РЗ>6аЗ> г Д е		Р	—	вложенная			последовательность		зам
кнутых	шаров,		а	а — регулятор сходимости				к 0	после
довательности		радиусов шаров					Р(гс).

Так же, как и обычно, можно показать существен ность условия сходимости к нулю радиусов шаров: в некоторых полных К.МП существуют вложенные последо вательности замкнутых шаров с пустым пересечением.

(Соответствующий		пример			можно найти		в книге	Г е л -
б а у м а и О л м с т е д а [1; стр. 201].)
Теорема 6 дополняется следующей теоремой един
ственности.		Пусть р — регулярная					вложенная		по
Т е о р е м а	7.	Пусть р — регулярная					вложенная		по
следовательность		шаров		КМП М и		Х\,	Х2— точки М,
принадлежащие	всем		шарам		р(п). Тогда		Xi—X2-
							м	п
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Фиксируем		произвольное		п	и
обозначим через Yn+i			центр		шара Р(я + 1). Тогда
и		p(Yn+u			Х1)^2-п~1
и
Поэтому		9 {Уп+и			Х2)^2-п-\
Поэтому		р{ХиХ2)^2-п.
		р{ХиХ2)^2-п.
Так как р(Хи	Х2)	^	0, то	отсюда следует			р(Х{, Х2)	=	0,
что и означает	Xi —		X2.

Принцип вложенных шаров позволяет обобщить ре зультаты § 4 гл. 3 о неперечислимости конструктивного континуума.


	О П Р Е Д Е Л Е Н И Я ,			П Р И М Е Р Ы . П О П О Л Н Е Н И Е				К М П		375
О п р е д е л е н и е				15. Множество Ж <= М					называется
эффективно		нигде	не	плотным		в	КМП М,	если		можно
построить алгорифм			со, перерабатывающий					всякий шар S
в шар	так, что co(5)sS,				и	для	любого	X е	М,	если
Xeco(S),		то хфЖ		(т. е.	co(S)		включен	в	дополне
ние Ж).
Введенное только что отношение между Ж и										со мы
будем	выражать записью Нпл(Ж,						со).
Прежде чем определить понятие множества первой
категории,		сделаем	некоторые			пояснения. Под			последо

вательностью множеств в алфавите А мы понимаем

двухпараметрическую	формулу Ж{1,Р), где i — перемен
ная для натуральных	чисел, а Р — переменная для слов

в алфавите А. Придавая i какое-нибудь значение п, мы получаем однопараметрическую формулу, т. е. множе ство слов в алфавите А * ) . Это множество мы называем п-м членом последовательности и обозначаем посред

ством

Ж п. Саму

последовательность Ж(1,Р)

мы

будем

иногда обозначать

посредством

{Жп}.

Множество

назовем

объединением

последователь

ности

множеств

{Жп},

если для

любого

слова

- ^

~11Э/г(Ре1п ).

О п р е д е л е н и е

16. Множество

3? <~ М назовем

мно

жеством

первой

категории

(в

М),

если

оно

получается

объединением

последовательности

эффективно

нигде

не

плотных

множеств,

т. е.

если

осуществима

последова

тельность множеств

{У^}

{где

все

Жп

включены

М)

и алгорифм

такие,

что 3?

является

объединением

{Жп}

и при любом

п выполняется

Иил(Жп,

уп).

3?,

Описанное

определении

отношение

между

{Жп}

и у мы

будем

выражать

записью

К а т ( 5 7 ,

{Жп},у).

Во многих случаях вместе с данным множеством

ока

зывается удобным рассматривать множество, получаю щееся из него присоединением всех точек, эквивалентных

*) Уточнение сказанного требует описания логико-математиче ского языка, в котором строятся соответствующие формулы (ср. примечание на стр. 356).

3 76 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9

в М точкам данного множества. Примем в связи с этим следующее

О п р е д е л е н и е			17. Пусть Ж\ — множество			точек М.
Обозначим	через	Ж\	множество	точек	М,	задаваемое
условием
	X е Лх	=	ЗУ ((У е= Ж,)	& (У =	X));
				м
Ж\ будем	называть	точечным образом Ж\.

Очевидно, точечный образ любого множества Ж\ есть правильное множество, причем Ж\<=,Жх- Точечный об


раз	правильного			множества	совпадает			с	ним	самим.
Ясно, что если точка X <= М не принадлежит									Ж\,	то она
отлична в смысле метрики М от всех								точек Жх,			т. е.
р(Х,	У) ф 0 при любом У е				Ж\.
Следующая теорема аналогична по формулировке и
доказательству			известной теореме			Бэра		(см., например,
К о л м о г о р о в ,			Ф о м и н [1; стр.			69]).
Т е о р е м а 8. Пусть М — полное						КМП,		Si — шар в М.
Для	всякого	множества первой категории						9? можно			най
ти точку X из Si,				не принадлежащую			ЗУ (и тем				более
не принадлежащую				9?).
Наметим доказательство этой теоремы. Пусть 9? —
множество		первой		категории,	являющееся объединением

последовательности эффективно нигде не плотных мно жеств {Жп}, и у — такой алгорифм, что выполняется Кат(2>, {Жп},у).

Исходя из у . нетрудно построить алгорифм уь пере

рабатывающий	всякое слово виЦа			п, S,	где	S — шар, в
замкнутый шар	радиуса,	меньшего		чем	2 _ п ,	вложенный
в S и не пересекающийся		с Жп-
Построим теперь алгорифм р так, что
	Р(0) ~	Yi (0,	Si),
	Р ( п + 1 ) ~ Y l ( " +		1, Р(я)).

Очевидно, р — регулярная вложенная последователь ность замкнутых шаров, причем каждый замкнутый шар р(л) не имеет общих точек с Жп- По теореме Q


§ 1]	ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП						377
вложенных		шарах	найдем точку	X,	принадлежащую
всем шарам \|3(«). Тогда при любом				п ХфЖп		и потому
Хф&.	Так	как, кроме того, Х е \| 3 ( 0 )			и p ( 0 ) s 5 b		то
Из	приведенного		рассуждения	нетрудно		усмотреть,

что осуществим алгорифм % со следующим свойством:

если	алгорифм		у перерабатывает	всякое	слово		п, S
(где	5 —шар)	в	шар, причем y ( n , S ) £ S ,		то	для	лю
бого	шара Si	!21(£Y3> Si)> 51(£Y3>		S i ) e Su	и	если	для

некоторого множества & и последовательности множе

ства

{Жп}

выполняется

Кат (3?,

{Жп}, у),

то S U E Y B . S I ) ^

С л е д с т в и е

1. В полном

КМП

никакой

шар

не

яв

ляется множеством первой

категории.

С л е д с т в и е

Носитель

непустого

полного

КМП

не

является

(в

этом

КМП)

множеством

первой

катего

рии

*).

18. КМП

назовем

совершенным,

О п р е д е л е н и е

если

осуществим

алгорифм,

перерабатывающий

всякий

шар

данного

КМП

точку этого шара,

отличную

от его

центра.

Точку Х^М

назовем

изоли

О п р е д е л е н и е

19.

рованной,

если

можно

указать

шар с центром в точке

не содержащий

точек

М,

отличных

{в

смысле

мет

рики

М)

от X.

Очевидно, всякое совершенное пространство не имеет

изолированных

точек;

обратное

утверждение

(всякое

КМП без изолированных точек совершенно)

можно

опровергнуть

на

примере

уже

классе полных

КМП

(см.

К у ш н е р

[10]). Вместе с тем каждое

сепарабель-

ное КМП без изолированных точек совершенно.

Ясно,

что

все

точки

пространства натуральных

чи

сел Н изолированные. Таким образом, Н не является совершенным пространством (и для него не выпол няются формулируемые ниже следствия 3—6). Про странства Еп, Еп, Еп, С я В совершенны.

Поскольку каждое непустое перечислимое множество можно перечислить арифметически полным алгорифмом

*) Определением 1 не исключается случай, когда носитель дан ного КМП пуст. Пустое КМП, очевидно, полно и сепарабельно.

378

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

и любое одноэлементное подмножество совершенного КМП эффективно нигде не плотно в этом КМП, то вы полняется

Л е м м а

2. В

совершенном

КМП

любое непустое

пе

речислимое

множество

является множеством

первой

ка

тегории * ) .

Пусть

М — полное

совершенное

С л е д с т в и е

КМП

и S — шар

в М. По любому

перечислимому

мно

жеству Ж s М можно

найти

точку

из

так,

что

ХфЖ

(и тем более

ХфЖ).

Действительно,

пусть S — шар

центром

точке У

и Ж — перечислимое

множество

точек

М.

Обозначим

через

Ж1 множество

Ж U {У}

(где

посредством

{У} обо

значено одноэлементное множество с единственным

элементом У). Множество Ж\ перечислимо

и непусто.

Следовательно

(лемма

2), Ж\

является

множеством

первой категории. Остается применить к S

и Ж\

тео

рему

Следствие 3 является обобщением теоремы об эф

фективной

несчетности

любого

интервала

конструктив

ной прямой

(теорема

1 § 4 гл.

3).

С л е д с т в и е

полном

совершенном

КМП

вся

кий

шар

является продуктивным

множеством

(ср.

сно

ску

на стр.

190).

полном

совершенном

КМП

ни

С л е д с т в и е

какой

шар

не

является перечислимым

множеством.

С л е д с т в и е

Носитель

любого

непустого

совер

шенного

КМП

есть

продуктивное

множество

(и,

следо

вательно,

не

является

перечислимым

множеством).

Вследующем параграфе полученные результаты бу дут распространены на любые непустые согласованные множества.

Взаключение данного пункта заметим, что анало гично тому, как это делается в традиционной теории

метрических		пространств, для	полных	КМП	может
быть	доказана теорема Банаха о		неподвижной		точке и
*)	Пустое	множество, конечно, тоже	является	множеством пер

вой категории. Несколько ограничительная на первый взгляд фор

мулировка леммы		2 связана с невозможностью эффективно отли
чать (исходя	из	перечисляющих алгорифмов) пустые перечисли
мые множества	от	непустых.

Смотрите также файлы

Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf

Лурье, Г. Б. Основы технологии абразивной доводочно-притирочной обработки учебник.pdf

Маринов, И. А. Устройство и эксплуатация преобразовательных подстанций городского электротранспорта учеб. пособие.pdf

Межотраслевые связи и народнохозяйственные пропорции Восточной Сибири и Дальнего Востока..pdf

Мирзоян, Э. Н. Развитие учения о рекапитуляции.pdf

Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно