Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

370

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

 

В связи

с упомянутой перед формулировкой теоремы

аналогией

с КДЧ заметим, что пополнение М

можно

было бы определить и с помощью носителя, элементами

которого являются слова

вида

ЕаЗ * ЕРЗ > г Де а

— после­

довательность

точек М,

а

В — ее регулятор

фундамен­

тальности.

 

 

 

 

 

4. Вернемся

к примерам

КМП а) — е), рассмотренным

в п. 1. Все эти пространства

полны и сепарабельны.

В самом деле, для пространства Н высказанное утвер­ ждение очевидно, для Е\ оно следует из теоремы о пол­ ноте системы КДЧ и из плотности на конструктивной прямой множества рациональных чисел. Из полноты и сепарабельности Е\ без труда выводятся одноименные

свойстза пространств Еп, Еп, Е2Л. Наконец, при доказа­ тельстве полноты и сепарабельности пространства С следует воспользоваться теоремой о равномерной непре­ рывности предела равномерно сходящейся последова­ тельности равномерно непрерывных функций и аппрокси­ мируемостью равномерно непрерывных функций полиго­ нальными функциями с рациональными определяющими дроблениями и рациональными значениями в точках этих дроблений. (Исходными данными при построении таких аппроксимаций служат равномерные шифры.)

Остановимся несколько подробнее на доказательстве

полноты и сепарабельности бэровского пространства

В.

Пусть Т =г п 0 * . . . *tih — кортеж натуральных чисел.

Бу­

дем говорить, что ПНЧ а представляет этот кортеж, если a(t') =:= tii при ! < А и a(i) =?= nh при i k. Нетрудно по­ строить алгорифм % так, что для любого кортежа Т алгорифм 91т есть ПНЧ, представляющая Т. Пусть те­ перь арифметически полный алгорифм В перечисляет множество всех кортежей натуральных чисел. Построим алгорифм S3 так, что

и покажем, что S3 перечисляет плотное подмножество В. В самом деле, при любом п В(«)— кортеж натуральных

чисел, Щ(П\ — представляющая его ПНЧ. Следовательно, S3(rt)eB. Пусть a — произвольная ПНЧ. Фиксируем произвольное / и найдем m так, что

В (тп) т= a (0) * . . . * a (/),

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП

371

Тогда при i г£1 /

и, следовательно,

Щ

(т) (0 = a (i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р ( « ( т ) , Е а З ) < 2 _ / * ) .

 

 

Таким образом, КМП В сепарабельно.

 

 

Построим

алгорифм

Lim' так, чтобы для любой по-

 

 

 

 

в

 

 

 

следовательности у

точек В и любого п

 

 

 

Lim 1

( E Y 3 . " ) ^ ( Y ( " ) > (")•

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

(Напомним,

что если

Р — запись

алгорифма,

то

(Р)

означает этот алгорифм.)

 

 

 

 

Построим

алгорифм

Lim так, чтобы

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

L i m ( E v 3 ) ^ E L i m ^ B ,

 

 

 

В

 

 

в

 

 

 

и покажем,

что этот

алгорифм

является алгорифмом

предельного

перехода в В.

 

 

В.

Пусть у — регулярная

последовательность

точек

Тогда при любом п у(п)

есть запись ПНЧ, причем

при

m ^ п

9(у(п),

 

у(т))<2-п.

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что при и ^ п и / < п

{y(n))(i)^(y(m))(i).

Следовательно, при i <; п

< Y ( 0 X 0 - < Y ( " ) X 0 -

П О Э Т О М У при i г£Г П

L i m «(EY3.0- < Y («)X0

в

и

p(Lim(gY 3). Y ( « ) ) < 2 - " ,

в

что и требуется.

*) Здесь р — метрический алгорифм бэровского пространства.

372

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ; 9

Чтобы получить пример несепарабельного простран­ ства, достаточно рассмотреть подпространство Н, носи­ телем которого является неперечислимое множество. (Получающееся таким образом пространство, очевидно, полно.) В работе С л и с е н к о [4] построено КМП, кото­ рое не может быть подпространством никакого сепарабельного пространства. Выбрасывая из конструктивной прямой все КДЧ, равные 0, получаем пример слабо пол­ ного, но не полного КМП. Наконец, подпространство конструктивной прямой, носителем которого является множество всех рациональных чисел, дает пример КМП, не являющегося слабо полным*).

5. В этом пункте, как и раньше, через М обозна­ чается некоторое КМП с носителем Ж и метрическим

алгорифмом р.

14. Алгорифм

В назовем

регулярной

О п р е д е л е н и е

вложенной

последовательностью

замкнутых

шаров (про­

странства

М), если

6

перерабатывает всякое

натураль­

ное число

в замкнутый

шар

пространства М, причем

при

любом

п

радиус

шара

В (п)

меньше,

чем

2~п,

и

Р ( Я + 1 )

£=Р(П).

 

 

 

 

 

 

 

Характеристическим

свойством полных

метрических

пространств является следующее утверждение, которое можно рассматривать как обобщение теоремы о вложен­

ных сегментах § 2 гл. 3.

 

 

 

 

 

Пусть

Т е о р е м а

б

(принцип

вложенных

шаров).

М — полное

КМП.

Тогда

можно построить

алгорифм

%

так, что, какова

 

бы

ни была

регулярная

вложенная

по­

следовательность

замкнутых

шаров (КМП

М)

р,

имеет

место:

Ш(№)\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

е ^ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Я(£РЗ)

21(ЕРЗ)

Р(п).

 

 

 

 

 

3)

при

любом

п

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть алгорифм

Lim

является

алгорифмом предельного перехода КМП М. Нетрудно построить алгорифм у, перерабатывающий всякий зам­ кнутый шар в его центр. Используя теорему об универ­ сальном алгорифме, построим алгорифм 2I1 так, что

*) Множество рациональных чисел не следует путать с множе­ ством КДЧ, равных рациональным числам. (Определение рацио­ нальных чисел приведено в § 2 гл. 2.)

§ 1]

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ. ПОПОЛНЕНИЕ КМП

373

для любого алгорифма р и натурального п

(И)a ' ( E P 3 , i ) ^ Y ( P ( * + i ) ) .

Для любой регулярной вложенной последовательно­ сти замкнутых шаров р алгорифм 9Црз является ре­ гулярной последовательностью точек М. Действительно, при любом т

 

 

 

 

 

 

Y(P(m))ep(m) .

 

 

Поэтому

при tn ^ п -\- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y ( p ( m ) ) e p ( t t + 1)

 

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

Р (Y (Р (л +

О)- Y (Р («)))

< 2 - " - 1

<

2 - \

что

( ( H ) )

и

требуется.

 

 

 

 

Построим

теперь

алгорифм

91 так, что

 

 

 

 

 

 

5I(£P3)~Lim(££[P 3 3),

 

 

и покажем,

что 91 обладает нужными свойствами.

Фиксируем

произвольную

регулярную

вложенную

последовательность

замкнутых

 

шаров

р

и произволь­

ное

п. Обозначим для краткости центр и радиус шара

$(k)

соответственно через Хи и 4- В этих

обозначениях

(11)

примет

вид

 

 

 

 

 

(12)

 

 

 

 

я 1 (£РЗ.

 

 

 

 

Поскольку

2%з — регулярная

последовательность, то

1Я(£РЗ) и 21(£РЗ)<=А1. Далее

((12)) при

любом т

(13)

 

 

 

 

p(9l(£P3), X m + I ) < 2 " m

 

 

и при т^п,

 

 

поскольку Xm+l

^

$(п),

 

 

(Н)

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

Следовательно

((13) —(14)), при

т^п

 

 

(15)

 

 

 

Р(И(ЕРЗ),

+

2-"*.

 

 

Из

(15)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р(Я(£РЗ),

 

 

 

 

Смотрите также файлы