Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 126

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

420

КОНСТРУКТИВНЫЕ

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

Так

как я г > g(k), то

((31), (34))

 

(38)p((X}gik), {Х}п-)<2~8(к).

Аналогично из Qi^Mn

и пр >g(k)

следует

Ps

s

(39)

P(W'4,»

{Qi}gw)<2~eik)'

При оценке суммы Si членов группы (I) мы вос­ пользуемся следующим очевидным неравенством: если

P^Jtmaxd.l), ТО

 

 

Р ({Ph,

{P}j) <

2 ~ m i n ( '' П

< 2~l

+

2~'.

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9({Pi)nr

 

{ Р , Ц ) < 2 " ^

+

2""^

 

 

 

и при

2 ^

 

i ^

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р ([Pi)nPl_x,

 

{Pi)nPi)

< 2 " " p ' - i

+

2 ~ \

 

 

Следовательно,

 

сумма

членов

 

группы

(I) оцени­

вается

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sj <

2-я*~

+ 2-2 2~Ч = 2~'(v

т

+

2 • S

2"* (v

 

Поскольку

все

числа

v(X),

v(P<)

( t ^ s )

попарно

раз­

личны

и больше

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si<2-

 

2

2 -

' .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ft+i)

 

 

 

 

 

 

 

Сумма

 

Si г группы

членов (II) аналогично

оценится

(ср. (32))

суммой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

2

2

- * « ) + 1

=

2 .

2

2~8{С)<2.

 

 

S

 

2"' .

 

t=k+l

 

 

 

 

 

i=k+l

 

 

 

i=g(k+l)

 

 

Собирая

сделанные

оценки,

получим

((33))

 

 

 

Р {{X}g

<*>,

{Qt}g

 

<

2 " g ( f c ) + 2 - g

<*> +

4 •

со

2

2 - ' <

^ 2 _ g

 

-f- 4 - 2 - g

 

 

 

= 2 - g

 

- f 2~g

( A + 1 ) + 3

< 2 _ f i

< f t ) + 2

§ 3]

ВЫБОР

ПЕРЕЧИСЛИМОГО

ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

421

Поскольку,

с другой

стороны,

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

9({X}g(k),

X ) < 2 - 8 i

k ) - l < 2 - 8 i k )

+ 2

,

 

 

 

 

 

р(Х,

 

 

 

 

{Qi}g(k))<2-Sik)+3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что и требуется.

 

Пусть

h —

последовательность

О п р е д е л е н и е

5.

натуральных

чисел,

М — КМП.

Будем

говорить,

что М

нигде

не

редко

по отношению

к h,

если

никакой шар

ра­

диуса

2~п

в

пространстве

 

М

не

может

быть

покрыт

n - f 1 шарами

радиуса

 

2-h^+3*).

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е

6.

Множество

точек

данного

КМП

назовем

нигде

не плотным

{в

этом КМП),

 

если

оно

не

содержит

ни одного

шара.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ясно, что эффективно нигде не плотное

множество

(определение 15 § 1) нигде не

плотно. Обратное

утвер­

ждение неверно даже для замкнутых множеств.

 

 

Из леммы 8 получается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а 9. Пусть М нигде

не редко

по отношению

к g.

Тогда

множество 3? нигде

не

плотно в

М.

 

 

 

 

Возьмем теперь в качестве g такой алгорифм, что при

любом п

 

 

g(n)~3-(n

 

+

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(очевидно,

gin-fl)

= g(n)

+ 3).

Нетрудно

видеть,

что

как пространство КДЧ, так и бэровское пространство ни­ где не редки по отношению к g. В самом деле, если шар

радиуса 2~п

в Е\

(т. е. интервал

длины 2~п+1)

можно

было бы покрыть п -f-1 шарами

Ех

радиуса

2_ g <")+3 =

__ 2-з-п-3) т о

оказалось

бы

 

 

 

 

2~п+{

< ( я +

1) • 2 - 3 " - 2

<

2~2п~\

 

что невозможно. Далее, любой шар бэровского простран­ ства не может быть накрыт никаким числом шаров мень­ шего радиуса**). Это вытекает из того простого обстоя­ тельства, что если б, бо, .. •, бй — последовательности натуральных чисел и п — произвольное число, то

*) Множества Жо, . . . , Жг покрывают множество Ж, если для любого J f e X не может не существовать при котором ХеЖ{.

**) Напомним, что нами введены и рассматриваются лишь шары с радиусами вида 2~п.

422

КОНСТРУКТИВНЫЕ

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

можно

 

построить

такую

последовательность

натураль­

ных чисел о,

что

a(i)

=

6(t) при i ^ п

и

а ( п + 1 )

ф

ф bj{n + 1) при

/ ^

k.

 

Таким

образом,

а

принадлежит

бэровскому шару

£63 *я

и не принадлежит ни одному

из шаров £ 6 J 3 *"+ 1

(где

i^k).

 

 

 

 

 

Из сказанного

и леммы 9

вытекают

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

4.

В

бэровском

пространстве

можно

по­

строить

непустое

замкнутое

согласованное

 

нигде

 

не

плотное

 

множество.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

5.

Можно

построить непустое

замкнутое

согласованное

нигде

не

 

плотное

множество

КДЧ.

 

 

Из

теорем

4—5

вытекают

следующие

утверждения

Т е о р е м а

6.

Можно

построить эффективный

функ­

ционал,

 

определенный

на нулевой

последовательности,

 

об­

ласть определения

которого

не содержит ни одного

шара.

Т е о р е м а

7.

Можно

построить

конструктивную

функцию

/, определенную

в

нуле и такую,

что невозмо­

жен интервал,

во

всех

точках

которого

была

бы

опре­

делена

f * ) .

 

 

Ж1

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим

через

множество тех

КДЧ,

на

кото­

рых не определена функция f. Множество Ж/ дает ряд интересных примеров. Легко видеть, что 0 является пре­ дельной точкой множества Жf и вместе с тем (ввиду следствия 4 п. 4 § 2) не является алгорифмической пре­ дельной точкой y(f. Здесь мы имеем дело с любопытной ситуацией: хотя сколь угодно близко к 0 и есть точки

множества

Ж и алгорифм,

выбирающий по каждому

п

точку

Ж],

по

модулю

меньшую 2 _ п ,

невозможен.

Из

сказанного

также

следует,

что

Ж}

непрослеживаемо

(определение

12

п. 4 § 2). Далее,

поскольку

множе­

ство

Жи

будучи

дополнением

согласованного

множе­

ства,

алгорифмически

замкнуто

(следствие 5 п.

4 §

2),

то Ж] дает пример алгорифмически замкнутого, но не замкнутого множества. Из непрослеживаемости Ж^ вы­

текает,

что область определения /, которая нигде не

*) В

работе Ц е й т и н а [8] приведена значительно менее гро­

моздкая

конструкция конструктивной функции, определенной в нуле

и не являющейся всюду определенной ни в какой окрестности нуля. Там же в подстрочном примечании приведены примеры эффектив­ ных функционалов типа функционала теоремы 6, принадлежащие Фридбергу и Мучнику. Эти примеры, выполненные специально для бэровского пространства, также значительно менее громоздки, чем примеры, даваемые теоремой 6,

§ 3] ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИМОГО ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

423

плотна на конструктивной прямой, не является эффек­ тивно нигде не плотным множеством. Наконец, множе­

ство Ж},

будучи

эффективно

открытым

(лемма

5), не

является лакомбовым

(если

бы Ж^ было лакомбовым,

то оно

оказалось

бы

согласованным, а

следовательно,

и прослеживаемым множеством).

 

 

Отметим еще

следующее

интересное

свойство

изло­

женной выше конструкции. Как, вероятно, помнит чи­

татель,

 

при

построении

множества

&

фиксировалась

точка Х0

М, которая затем

оказывалась

элементом

%'.

Чтобы

подчеркнуть это,

переобозначим

3? посредством

3£х\ Пусть

& — плотное

подмножество

 

М.

Тогда

из

определения

множества

52

(стр. 416)

легко

усматри­

вается,

 

что

пространство

М

(точнее,

его

носитель)

яв­

ляется

объединением множеств 1 3?х,

где X

G E &. В част­

ности, как конструктивная прямая, так и бэровское пространство могут быть получены объединением после­ довательности замкнутых, согласованных, нигде не плот­ ных множеств. Таким образом, условие эффективной

нигде не плотности в приведенном

в § 1

конструктив­

ном аналоге теоремы Бэра существенно.

 

4. Определение алгорифмического

оператора, данное

в § 2, включает условие согласованности

задающего

оператор алгорифма.

Это приводит

к тому, что в точ­

ках неопределенности

оператора не

определен (т. е. не

заканчивает свою работу) соответствующий алгорифм. Вместе с тем представляется достаточно естественным рассмотрение таких операторов, у которых точки не­ определенности являются просто точками рассогласо­ ванности, так что задающий оператор алгорифм может быть применим к этим точкам. Именно, такой характер имело определение конструктивной функции, предло­

женное

М а р к о в ы м

в его первой публикации о кон­

структивных

функциях

[3]. Как показал С л и с е н к о [3],

при

отказе

от требования

согласованности оператора

на

всем

пространстве

(или,

что то же самое, при от­

казе от требования согласованности области определе­ ния оператора) теорема непрерывности опровергается на примере. В данном пункте мы изложим этот резуль­ тат Слисенко.

О п р е д е л е н и е 7. 1)

Пусть М{, М2 — КМП

(в фик­

сированном нами алфавите

А). Псевдооператором

из Мх

Смотрите также файлы