Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 127

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4 24

КОНСТРУКТИВНЫЕ

МЕТРИЧЕСКИЕ

ПРОСТРАНСТВА

[ Г Л . 9

в М2

или,

короче,

типа Мх т* М2

назовем

произвольный

алгорифм

алфавите

Л?.

Будем

говорить,

что

псевдооператор

Ч/

типа

Мi

-г> М2

определен

точке

X ^

Мь

если

при

любом

Y =

\W (Y),

W (Y) е=Мо

и Ч' (Г) =

(X).

м,

мг

Ч;

из Mi

М2

О п р е д е л е н и е

Псевдооператор

назовем

квазиоператором,

если

этот

псевдооператор

определен

во

всякой точке X ЕЕ MI

такой,

что \Х¥(Х)

У(Х)

GEM 2 .

Понятия

псевдо- и квазиоператора

предложены

С л и-

с е н к о [3]. В силу теоремы

6 § 2 псевдооператоры

(а сле

довательно,

квазиоператоры)

обладают

некоторыми

свойствами

непрерывности — именно,

любой

псевдоопе

ратор неразрывен, т. е. не

может

иметь конструктивных

разрывов.

Т е о р е м а

8 (пример

неразрывного,

но

не

непре

рывного

квазиоператора;

С л и с е н к о

[3]). Можно

по

строить квазиоператор

из

пространства

КДЧ

себя

такой, что

W определен

в 0

и Ч'(0) = 0;

2)невозможна окрестность нуля такая, что W не

определен

во

всех

ненулевых

точках этой

окрестности;

3) если

х ф

4я определен

точке

х,

то W (х) =

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

f — конструктивная

функция, построенная согласно теореме 7, т. е.

(40)

!/(0);

(41)

область

определения

не

содержит

ни одного

интервала.

Пусть

G — такой алгорифм, что

(42)

Ю(х)

хф0.

Построим

алгорифмы

у1,

у2

и Y 3 так,

что

Y 1

(х) ^

цп

(([/] (х, п) =

А)

([G] (х,

п)

Л));

(х) ~

(

если

[G](x,

у1

(х)) == Л ,

Y 2

{

10,

если

[G](x,

Л ;

уЦх,

0 ) = Y 2

( * )

§ 3]

ВЫБОР ПЕРЕЧИСЛИЛТОГО

ПОКРЫТИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

425

и при

я > О

если

у2 (х) — 1

[f](x,

п)ф/\,

V 3

(х,

п) ==

О,

если

у 2 ( х ) — 1

[/](х,

я) =

Л ,

если

у 2 (х)==0

[G] (х,

я) ф

Л ,

если

у 2 (х)==0

[G](x,

я ) = Д .

Предположим,

что

при

некотором

КДЧ

"{ly^x).

Тогда,

ввиду

(40),

х ф

0. Следовательно ((42)), !G(x) и

при

некотором я

[G] (х, я) — Л ,

что

невозможно.

По

этому при любом х выполняется

~\ ~| \у1 (х),

т. е. !у'

(х).

Отсюда получаем, что всегда !у2 (х) и

(43)

если

у 2 (х)==0,

то

!/(х);

(44)

если

у2{х)

~ 1,

то

х ф 0.

Из

применимости

у2

любому х

следует, что

у3

является последовательностью рациональных чисел. Не

трудно

также убедиться,

что ((43) — (44))

(45)

если

х =

то

при любом я у3(*>

«) =

(46)

если

х Ф

~]lf(x),

то

при любом я

уЦх,

л)==1 .

Пусть

теперь

и !/(-*:). Тогда при

некотором

[/] (х, я) =

и [G] (х, я) =

Л- Если у2 (*) =

1, то у3 (0) == 1

и при

упомянутом

только

что

у3 (я) =

Если

же

у 2 (х)==0,

то

у3х{0)=г0

у 3 (я) =

Таким

образом,

(47)

если

х ф

lf(x),

то при

некотором

| у 3 (х,

0 ) - у 3 ( * ,

п)\=1.

Пусть б — такой алгорифм, что при любом я б (я) == 0.

Построим алгорифм W так, что

W ( x ) T B 3 3 0 B 3 ,

ипокажем, что W является искомым квазиоператором. Очевидно, алгорифм W применим к'любому х. Пред

положим, что	Ф"(х) — КДЧ	и	у =	х.	Можно	рассмот
реть отдельно	случаи: а)	х =	0;	б)	X ф 0.	В случае

426

КОНСТРУКТИВНЫЕ

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. 9

а) (/ =

0 и ,

ввиду (45),

4>'(у) также

является

КДЧ,

при

чем

^¥(х)

W(y)

= 0. В

случае

б),

ввиду

(47),

~]\f(x).

Следовательно,

~1!/(//)

согласно

(46)

полу

чаем,

что

4?{у) — КДЧ,

причем л¥(у)

Ч(х)

1. Та

ким образом,

W — квазиоператор.

Обозначим

через

Ж1

множество

КДЧ,

на

которых

не

определена

функция

Из

(45) — (47)

следует, что

ква

зиоператор W определен в нуле,

¥ ( 0 )

0 и

при

х ф 0

W определен в точках множества Ж^ и только в них,

причем принимает

в этих

точках

значение,

равное

I .

Остается заметить, что утверждение 2) теоремы выте

кает из (41) * ) .			Жу
Обозначим		через	Жу	множество	точек	опреде
ленности	построенного		нами	оператора	W ( х е	Жу	=
= ~ Р (X =	0 V X	G Ж j))	и рассмотрим подпространство				Kv

пространства КДЧ, индуцированное Жчг. Используя алгорифмическую замкнутость Ж), нетрудно показать, что Kv —полное КМП. Квазиоператор Ф", рассмотренный на этом пространстве, является всюду определенным

алгорифмическим			оператором из	в	пространство
КДЧ	Еи при	этом	W неразрывен, но не непрерывен. Та
ким	образом,	теорема непрерывности		не	сохраняется

при отказе от требования сепарабельности, хотя в этом случае и остается в силе теорема неразрывности. Тре бование полноты в теореме непрерывности также су щественно: очевидно, существуют разрывные операторы из пространства рациональных чисел в себя.

За дальнейшими сведениями о характере непрерыв ности алгорифмических операторов при отказе от тех или иных ограничений на метрические пространства мы

отсылаем	читателя	к	работе О р е в к о в а [5].
*) Квазиоператор			дает	пример	«неконструктивного	разры
ва»: хотя	вблизи нуля	и	«есть»	точки,	где Т определен и	равен

единице, (алгорифмическая) последовательность таких точек, (кон структивно) сходящаяся к нулю, невозможна.

БИБЛИОГРАФИЯ

В настоящую библиографию, помимо непосредственно цитируе мых в книге источников, включены известные автору работы, отно сящиеся преимущественно к конструктивному (вычислимому, рекур сивному) анализу. (Опущен лишь ряд работ Гудстейна, упоминае мых в библиографии русского перевода его книг [1]—[2].) Первоначальные библиографические сведения в области интуицио нистского анализа можно найти в монографиях Г е й т и н г а [3] и Ф р е н к е л я , Б а р - Х и л л е л а [1].

Составление этой библиографии закончено в январе 1972 года.

Ад л е р (A d 1 е г А.)

[1]Some recursively unsolvable problems in analysis, Proc. Amer.

Math. Soc. 22, № 2 (1969), 523—526. А л е к с а н д р о в П. С.

[1]Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиздат, 1948.

Б а н а х , М а з у р (В а п а с h S., М а г u г S.)

[1]Sur les fonctions calculables, Ann. Soc. Pol. de Math. 16 (1937), 223.

Б И Ш О П ( B i s h o p E.)

[1] The constructive development of abstract analysis, Международ ный конгресс математиков (Москва, 1966), Тезисы докладов, 1966, 31—39.

[2] Foundations of constructive analysis, New York, 1967.

[3]The constructivization of abstract mathematical analysis, Между народный конгресс математиков (Москва, 1966), Труды, «Мир», 1968, 308—313.

[4]Mathematics as a numerical language, Intuitionism and Proof Theory, Proc. of the summer conference at Buffalo, N . Y., 1968,

North-Holland Publishing Co., Amsterdam — London, 1970, 53—71.

Б о р	е л ь (В о г е 1 Е.)
[1]	Lecons sur la theorie des	fonctions, Paris, 1928.
В а н д и в е р ( V a n d i v e r		H. S.)

[1]Constructive derivation of the decomposition field of polynomial, Ann. Math. 37 (1936), 1—6.

[2]On the ordering of real algebraic numbers by constructive me thods, там же, 7—16.

Вe й л ь (W e у 1 H.)

[1]Das Kontinuum, Leipzig, 1918.

428	БИБЛИОГРАФИЯ
[2] О философии	математики, Сборник работ (перев. с нем.),
ГТТИ, 1934.

Ге й т и н г ( H e y t i n g A . )

[1]Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss, Phys.-matem. КЦ 1930, 42—56.

[2]Die formalen Regeln der intuitionistischen Mathematik, там же, 57—71, 158—169.

[3]Intuitionism, An introduction, Amsterdam, 1956. [Русский пере

вод: Г е й т и н г А., Интуиционизм, Введение,

«Мир»,

1965.]

Г е л б а у м ,

О л м с т е д

( G e l b a u m

В.,

O l m s t e d

J. О.)

[1] Counterexamples

Analysis,

Holden-Day,

San

Francisco —

London — Amsterdam,

1964. [Русский

перевод:

Г е л б а у м Б.,

О л м с т е д

Дж.,

Контрпримеры

в анализе,

«Мир»,

1967.]

Г ж e г o p ч и к ( G г z e g o r c z y k A . )

[1] Elementarily definable

analysis,

Fundam. Math.

(1954), 311 —

338.

[2] Computable

functionals,

там же

(1955),

168—202.

[3] On

the

definition

computable functionals, там же, 232—239.

[4] On

the

definitions

computable

real continuous

functions,

там

же 54

(1967),

61—71.

[5]Some approaches to constructive analysis, Constructivity in mathematics, Amsterdam, 1959, 43—61.

Ги л ь б е р т ( H i l b e r t D . )

[1]Ober das Unendliche, Math. Ann. 95 (1925), 161—190. [Эта статья в сокращенном виде помещена в книге Гильберта «Ос нования геометрии», Гостехиздат, 1948.]

Гу д с т е й н ( G o o d s t e i n R . L.)


[1] Recursive number theory, A						development of		recursive arithmetic
in a logic-free equation calculus, Amsterdam, 1957.									[Русский
перевод	в кн.: Г у д с т е й н					Р. Л.,	Рекурсивный математиче
ский анализ, «Наука», 1970.]
[2] Recursive	analysis,			Amsterdam, 1961. [Русский перевод в кн.:
Г у д с т е й н		Р.	Л.,		Рекурсивный		математический		анализ,
«Наука»,	1970.]
[3] A constructive		form		of	the	second Gauss proof of the funda
mental theorem of algebra, Constructive Aspects of the Funda
mental Theorem			of	algebra,		Proc.	Symp.	Zurich — Ruschlikon

1967, Wiley-Interscience, New York, 1969, 69—76.
[4] Polynomials	with	computable coefficients, Notre	Dame J. form.
Logic 11, №	4 (1970), 447—448.
Г у д с т е й н , Х у л и		( G o o d s t e i n R. L., H o o l e y	J.)