Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 0
откуда
(12.4)
Формула ( I I . 4 ) служит для определения моментов ине ции прямоугольника относительно оси, проходящей черев ос нование, а формула (12.4) - для определения момента отн сительно оси, проходящей через центр тяжести прямоуголь ника.
б) Треугольник.
Пусть имеет треугольник высотой А и шириной £ (рис.8.4).
Рис.8.4
Нужно найти осевые моменты инерции треугольника относи тельно двух параллельных осей Z, и £ 0 , проходящих че рез основание и его центр тяжести. С этой целью выде из треугольника параллельными линиями оси JJ, элементар ную полоску (заштрихованную на рисунке) о основанием 2
122
и выоотой |
на расстоянии J^- от оси Zr . Из рисун |
ка видно: aF |
. Пользуясь формулой для опре |
деления осевого момента инерции, будем иметь:
Иа подобия треугольников можно записать:
Л; « |
отсюда ? = |
h^"Ф^ |
*h
которое подставив в выражение (а), получим: ,
(13 4
Ъгтк - >
Формула 13.4 служит для определения момента инер ции треугольника относительно оси, проходящей через его основание.
Найдем осевой момент инерции треугольника, проходя щей через его центр тяжести. Для э-ого воспользуемся формулой (8.4) и будем иметь: . j .
Jl= &Ь |
(W.4) |
в) Круг.
Разобьем площадь круга на элементарные полооки площадью с/Г (рио.9.4). Одна из таких заштрихованных полосок изображена на рисунке, которая будет равна
123
|
Рис.9.4 |
|
|
|
Воспользуемся формулой для определения полярного |
|
|||
момента инерции, запишем: |
Л тгг»У чг>уУ |
|
||
% ./fVr.f'ffiUrfdf-- |
Щр- |
Ч |
|
|
F |
Jo |
|
|
|
|
Jp- Z |
32. |
(15.4) |
|
Из формулы |
(7.4) следует, |
что,7г* |
= j ^ , |
, |
но центробежные моменты инерции круга вследствие симмет рии фигуры будут одинаковы, поэтому формула (7.4) для нашего случая может быть записана так:
Формула 16.4 служит для определения момента инерции круга относительно осей, проходящих через его центр тя
124
жвоти.
Далее определим сначала полярный момент инерции кольца (рис.10.4), а затем найдем осевые моменты инер
ции его относитель но осей, проходящих через центр тяжес ти кольца. Приме нив формулу (15.4),
имен. у
— Z 7 - ^ 8 - Ш
Обозначим с/= ^
Рис.10.4
Тогда наше выражение перепишем так:
Осевые моменты инерции будут ' авны:
Пример 2.4
Определить ооевые моменты инерции относительно ooettj£ и Ъ сечения, изображенного на рио.П.4.
Тешение Разбиваем сечение на две простейшие фигуры: прямо
угольник (показанный на рис.II.4 под номером I ) и пря моугольный треугольник - П.
125
— 2а—
Рис.П.4
В этом случав осевые моменты инерции всего сечения относительно осей ? иJf выражаются следую щим равенством:
Следует заметить, что для прямоугольного треуголь
ника используем формулу перехода осевых моментов ине цииОД***;относительно параллельных осей:
Для прямоугольника осевые моменты инерции будут соответственно равны:
Полученные значения поставим в выражение (а) и
126
получим
3 Q
2U У
Пример 3.4
Требуется найти положение главных центральных осей инерции и определить главные центральные моменты
инерции для сечения, |
изображенного на рис.12.4. |
|
|
Решение |
|
|
Для прямоугольного |
|
|
сечения с круглым от- |
|
|
зерстием находим ко |
|
|
ординаты центра тяжес |
|
|
ти. Учитывая, что |
это |
|
сечение имеет ось сим |
|
|
метрии - ось £ |
, то |
|
центр будет находить |
|
|
ся на этой оси. |
|
|
Поэтому нужно найти |
|
|
лишь одну координату |
|
|
центра тяжести 1£с , |
|
|
которая вычисляется |
|
|
по формуле (3.4).Пред |
|
|
варительно проводим |
|
|
ось g , проходящую |
|
|
через основание ука |
|
Рис.12.4 |
занного сечения. |
|
9-1256 |
127 |
|
Следует заметить, что статический момент заданного сечения будет равен статическому моменту целого прямо угольника минус статический момент отверстия.
Следовательно: |
|
|
* |
|
Так кз поступим и при вычислении площадей, т.е. |
||||
F |
=40-2.0 ~ 2+^Г= |
8GG-/SY- |
6</6с~г |
|
Тогда: |
|
|
|
|
Как в':дно из рисунка (12.4) главными центральными |
||||
осями инерции будут ось ^ |
, как ось сишетрии и |
|||
ось 2 |
. как перпендикулярная к ней. |
|
||
Вычислив моменты инерции |
У£ и ^ |
относительно |
||
этих осей. При этом вычислим в отдельности для прямо ника и для круга, а затек произведем вычитание этих зультатов.
Для целого прямоугольника, пользуясь формулой (8.4
а для круга: |
y |
z |
|
7, - J* -+FQ, = |
^ |
у ' |
у |
Тогда |
|
|
|
128
Подсчитаем момент , учитывая, что ось^ яв ляется центральной осью и для прямоугольника и для кр то в этом случае формула будет иметь вид:
§ 7.4. Изменение моментов инерции при повороте осей
Представим плоскую фигуру площадью F , которая от несена к прямоугольным осям координат 2-0^(рис. 13.4).
Допустим, что известны моменты инерции Ug. , |
J^o |
||
данного сечения относительно указанных осей 2- |
|
||
Требуется определить моменты инерции J k , |
, 3% |
и У^у, |
|
этой фигуры относительно новых осей ( |
и ^ |
) , |
пов |
нутых на угол Ы- против часовой стрелки по отношени
129
старых осей £ и у .
Выразим моменты инерции относительно новых осей через моменты инерции относительно старых осей. С этой целью будем рассматривать элементарную площадку c/F с центром тяжести в точке *^CL . Координаты этой точки в старой системе координат будут: Oe^i , а в новой системе - UJ/C=^^ и О/С= 2f . Для этого произ
водим вспомогательное построение: из точки £ проводим |
||
прямую линию, параллельную новой оси |
до пересечения |
|
с линией |
и получим точку А/ и из точки ^ провод |
|
прямую линию, параллельную g4 до пересечения с осью |
|
0£f и получим точку |
. ТогдаZ ЕМА/-о£ . Най |
дем координаты у.^ и j?y |
указанной площадки в но |
вой системе координат. |
|
Из рисунка можно заметить: |
|
(так как из треугольника |
А/М& следует*^^tM~£Crist** |
•=• UC&icl а из треугольника^^-' ~&е£= 0£$<4о£~
>
^так как из Д-ка <£Oiz> следует: &Х =0£-СЯ$о&:2С
Подставив эти значения в выражение осевого момента ин ции относительно zTy , будем иметь:
130
Аналогичным образом определяем |
, который |
будет равен: / |
/ |
Сложив почленно формулы (17.4) и (18.4) будем иметь:
Формула (19.4) показывает, что сумма осевых момен тов инерции относительно двух-взаимно-перпендикулярных осей сохраняет постоянную величину при повороте осей любой угол и равна полярному моменту инерции относит но точки пересечения осей.
Найдем величину центробежного момента инерции отно сительно новых осей 2у и .
7 я ^ i W ^ ^
(20.4)
131