Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 0
§ 8.4. Главные оси инерции и главные моменты инерции
Главными осями инерции называются такие оси, от носительно которых осевые моменты иыеюх' максимальное и минимальное значение, а центробежный момент инерции
равен нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжес ти сечения называются главными центральными осями инер ции.
Осевые моменты инерции относительно главных осей
называются главными моментами инерции. |
|
|
Для определения угла наклона главных осей инерции |
||
необходимо взять первую производную по углу о/ |
от мо |
|
мента инерции ^ |
и приравняв нулю (см.формулу |
17.4), |
получим: |
|
|
с/о/ |
6 |
* |
* |
или |
|
|
|
|
Разделиз почленно наСЛ* 2о/0 |
выражения ( а ) , |
|
будем |
иметь: |
|
|
откуда
где 0Со - угол, на который нужно повернуть коорди натные оси J£ и £ , чтобы они могли совпадать с главными осями.
Формула (21.4) служит для определения угла наклона главных осей инерции. По этой формуле найдем для угла
<$,о/0 два значения, отличающиеся друг от друга на
132
180° или два значения Ыр . отличающиеся на 90° . Следовательно, главные оси инерции взаимно-перпендику лярны. Докажем, что центробежный момент инерции отно сительно главных осей инерции равен нулю. С этой цзлью выражение (а) умножим на ( - ~ - ) и получим:
П р и м е р 4.4
Для сечения, состоящего из равнобокого уголка и швеллера (рис.14.4) требуется:
1 . Определить положение центра тяжести.
2.Найти величины осевых и центробежных моментов инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести.
3.Определить направление главных центральных осей.
4.Найти величины моментов инерции относительно главных центральных осей.
5.Выбрать данные для равнобокого уголка и шзеллера из таблиц сортамента, указанные в нижеприведенной таблице 1,4.
|
|
|
Таблица 1.4 |
|
Составное |
:ПлощадьПоложение: Моменты инерции |
относитель- |
||
поперечное:сечения:центра |
! но собственных центральных |
|||
сечение |
|
:тяжести |
: осей, см^ |
|
|
|
P^^QCU |
: горизонтальной вертикальной |
|
Швеллер |
|
|
|
|
Й> 18а |
25,69 |
1,88 |
1272,7 |
98,6 |
Уголок |
|
|
|
|
100x100x10 |
19,2 |
2,83 |
179 |
179 |
V
Рис.14.4
Решение
I . Определяем площадь составного поперечного сече-
134
ния
1. Выбираем случайные оси ОС , ^ , совпадающие с главными центральными осями швеллера (т.е. координаты т жести швеллера по отношению к этим осям будут равны
Тогда координаты центра тяжести составного сечения
б у Ю т разни: ^ ШГ-9.7(/..Я of с»
Проводим через центр тяжести взаимно-перпендикулярны
оси СС^ и |
, параллельные осям £Си ^ . |
2. Определяем моменты инерции сечения относительно |
|
осей ССс и |
-. |
Подставляем в это выражение числовые значения, по
%с * |
fat) |
ЗГС/= |
|
= д ц с о * |
ы п$+/s, |
z-4?%яо, |
збсм9 |
Находим центробежный момент инерции составного сеч ния относительно осей СС^ и a :
135
где Jxy.(u/i) " центробежный момент оечения швеллера относительно осей ОС , ^ • яьляющиеся глав ными центральными осями швеллера.
OCc-ZfiicMl координаты центра тяжести
(J — О Ч-$см J шзеллера относительно осей
^ху-Суг.) ~ центробежный момент инерции уголь относительно его центральных осей, параллельным осям
где J& — |
|
|
угол между главными центральными осями |
|||
угольника и центральными осями, параллельными осям |
||||||
ССс_ и |
, второй член в выражении для определения |
|||||
центробежного момента инерции угольника будет равен |
||||||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
В связи с этим, это выражение будет записано в с |
||||||
дующем виде: |
|
у |
-7 |
|
||
где Ухо~ |
си^ |
моменты инерции угольника |
||||
»у |
|
|
|
^ |
относительно его глазных |
|
Jgo |
~ |
7 |
^» |
9 см |
центральных осей ОС0 и |
|
Подставив числовые значения в указанное выражение, |
||||||
получим: |
|
|
|
^ Ш . . ^ 9 0 = |
/0%^с^ |
|
136
Находим координаты центра тяжести угольника относи тельно осей <Z?C тл^с_' Как видно из рис.14.4
=
d-gc 'ft'°< -&5см; С-Э^ = -fttf-lOfJx-tfc*
Подставляя числовые значения в выражение центробеж ного момента инерции составного сечения, получим:
У
3. Определяем угол наклона главных осей U. и if се чения к центральным осям SCc, и .
4. Определяем величины моментов инерции относитель но главных центральных осей Ц, ъ IX . г
+S*q3C(-q 1933)г- /99,26£-0,*2о£уЬ/ы 8,2 с*у
Проверяем решение задачи.
Сэтой целью используем соотношение (19.4)
7х+ ^ = 7та ос ~*~Упип
137
Подставив в это соотношение числовые значения, получим:
7Хс |
+Уус |
= /</Л*,*>-+ Ы0,36 |
3J &QOSсм Y |
Ju |
+ fa |
= / Л 9, Л + Mf, 03 |
£Z А ОО9 см " |
Как известно, центробежный момент инерции отно сительно глазных центральных осей инерции Ц и &~ должен быть равен нулю. Подставим числовые значения формулу (20.4), получим:
%, = Ъф*Ьп&(+ Уху!
Контрольные вопросы
1. Какие известны моменты инерции и для каких це лей они служат?
2.Чему равен статический момент относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры?
3.Какая связь существует между полярным и ооевы ми моментами инерции?
4.Как выражается зависимость между осевыми момен тами инерции относительно параллельных осей?
5.Чему равен момент инерции прямоугольника, отно
сительно оси, проходящей через его основание?
6.Чему равен момент инерции треугольника, круга, кольца и прямоугольника относительно осей, проходящих через центр тяжести этих фигур?
7.Как выражается зависимость между центробежными моментами инерции относительно параллельных осей?
138
8.Какая существует зависимость между осевыми мо ментами инерции относительно двух взаимно-перпендикуляр ных осей при повороте их на любой угол?
9.Чему равен центробежный момент инерции относи тельно новых осей, повернутых на любой угол?
10.Какие оси инерции называются главными централь ными осями инерции?
11. Как записывается формула для определения угла наклона главных осей инерции?
12.Чему равен центробежный момент инерции относи тельно главных осей инерции?
139
ГЛАВА У
Сдвиг и кручение
§ 1.5. Понятие о чистом сдвиге
Чистым сдвигом называется такой случай плоского напряженного состояния, при котором по двум взаимноперпендикулярным площадкам действуют одни лишь касатель ные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю.
Явление чистого сдвига бывает не всегда, а тольк лишь при определенных условиях.
Рассмотрим эти условия.
По условию чистого сдвига нормальные напряжения должны быть равны нулю, поэтому можно записать следу
щее соотношение: 6* |
* |
|
|
|
|
|
|
или |
= |
|
5 |
где |
= |
U |
= |
|
&м4зс ' |
|
^->» |
<%3^х |
|
^ 3U. |
|
Формула (1.5) выражает условия чистого сдвига. Следовательно, чистый сдвиг возникает в том случае, п котором на двух взаимно-перпендикулярных площадаахгНормальные напряжения равные между собой,но противоположны по знаку.
Напряженное состояние чистого сдвига можно предст вить в том случае, если из рассматриваемого параллеле пипида, изображенного на рис.1.5 выделить новый, грани которого наклонены под углом 45° к граням первого па лелепипеда, при этом условии он будет находиться под действием лишь касательных напряжений.
Следовательно, исходный параллелепипед будет на ходиться в состоянии чистого сдЕига.
140
j G/r>isi=~&/r?ax
Рис.I.5
Докажем, что при чистом сдзиге максимальные каса тельные напряжения будут равны главным нормальным напр жениям. С этой целью воспользуемся формулой (15.3).
Для нашего случая эту формулу (учтя, что 7?-0 на гранях внешнего параллелепипеда) перепишем так:
Итак &ыа-Х (2.5). Эта формула выра жает, что максимальные касательные напряжения по абсо лютной величине численно равны абсолютной величине но
141