Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 0
мальных напряжений, действующих на грани внешнего па раллелепипеда.
§ 2.5. Закон Гуна при сдвиге. Понятие о модуле сд
Напряженное состояние чистого сдвига можно также изобразить в виде элементарного параллелепипеда, боковы грани которого совмещены с площадками сдвига и по н дейстзуют лишь касательные напряжения (рис.2.5,а).
Для определенности будем считать, что грань 1-4 н подвижна, как изображено на рис.2.5,б.
Г
г |
^77777777777777777 |
|
|
Рис.2.5,а |
Рис.2.5,б |
При чистом сдвиге длина ребер рассматриваемого п раллелепипеда не изменяется, а происходит изменение ли прямого угла между гранями. В этом случае прямые уг рестают быть прямыми. Это изменение прямого угла наз
ется относительным сдвигом или углов сдвига и обозна
s
ся буквой Q \
к) Относительный сдвиг есть отношение абсолютного сд га к расстоянию между гранями параллелепипеда и - вен -ЫУ ,но в виду малости деформаций принимаю
142
Как видно из рисунка (2.5,6) при чистом сдвиге ка дая из граней параллелепипеда смещаются по своему напр лению на величину A S называемую абсолютным сдвигом.
Он измеряется в метрах, a Y |
~ в |
радианах. |
|
Опытным путем установлено, что между касательным на |
|||
пряжением 1? и углом сдвига |
существует |
пропор |
|
циональная зависимость, которая записывается в следую щем виде:
которая выражает закон Гука при сдвиге, где Q- - коэффициент пропорциональности, называемый модулем сдви га или модулем упругости второго рода.
Он является физической постоянной для данного мате риала, т.е. характеризует способность материала сопротив
ляться упругим деформациям при сдвиге и измеряется в
2 2
кГ/см, т/м и т.д.
Вначале определим выражение потенциальной энергии при чистом сдвиге. Если грани кубика со стороной равн единице будем ориентировать по глазным площадкам, то м но применить формулу ( /V.3) для плоского напряженного состояния, к которому относится чистый сдвиг. Полагая
б£=0 получим:
г^
Теперь вычислим потенциальную энергию кубика. С этой целью вырежем кубик по площадкам сдвига и вычисл работу касательных напряжений. Для простоты допустим, чт грань 1-4 неподвижна (рис.2.5,б).
В этом случае работу совершат только касательные напряжения, действующие по грани 2-3, что вызовет смеще
10-1256 |
143 |
их по своему направлению.
Тогда потенциальная энергия кубика будет равна:
U - -^Tf^T (а). Подставляем значение }f из
закона Гука (3.5), получим:
2.
Формула (5.5) служит для определения удельной по тенциальной энергии при чистом сдвиге.
§3.5. Зависимость между модулями упругости первого
Еи второго рода Q-
Пусть р осматриваемый параллелепипед находится в с стоянии чистого сдвига (рис.3.5). Если закрепим грань
го параллелепипеда не подвижно (на рисунке указана грань ) , то под действием ка сательных напряжений грань ВС сдвинется параллельно неподвиж ной грани /7ID на величину^^ = СС/ (называемый абсолют ным сдвигом). При этом прямые углы прев ратятся в острые или тупые, изменившись на величину ^
14-4
Из нашего рисунка нетрудно заметить, что при сдв ге произойдет абсолютное удлинение диагонали й С , равное отрезку С^/С
Найдем относительное удлинение этой диагонали по
формуле: |
|
|
|
"2" |
ЯК - ~яс |
|
( I ) , |
где А£=С,/С |
И £=/7С=#К |
. |
|
При этом изменением угла пренебрегаем, |
поскольку имеем |
||
дело лишь с упругими деформациями и поатому этот уго
весьма мал.
Из треугольника СС^К (рис.3.5) имеем:
CiK^CCjCrtVS* |
(а) |
|
но из треугольника СЯ)С/ видно, что |
СС/~^^^^^^ |
|
Подставим значение CCj |
в выражение (а), будем иметь: |
|
Заметим, что из треугольника /?С*Х) |
следует: |
|
Теперь полученные значения подставим в выражение ( I ) и получим:
ЙС ~ С?> Z С6.5)
Из этой формулы видно, что относительное удлинени диагонали в два pasa меньше относительного сдвига.
С другой стороны относительное удлинение диагонали, вызванное действием главных напряжений ( &/tiaj( —fc^o-r
145
для случая чистого сдвига запиается так:
ко |
так как £ — |
.тогда |
frt^'lT |
Из |
закона Гука при сдвиго следует^мах— Gr<f |
||
Поэтому выражение (б) перепишется так:
Тогда:
|
|
|
|
|
|
|
|
с 7 - 5 ) |
|
|
Как видно из этой формулы численная зависимость |
||||||||||
между G~ |
и Е |
|
будет определяться величиной yU- для |
|||||||
данного мг~ериала. |
|
|
|
|
|
|||||
Так для стали 3, если у<У |
будет равно 0,25, то |
|||||||||
по формуле |
(7.5) |
следует: |
|
|
|
|
||||
П= |
|
|
^ |
|
^ |
£- = QV£ |
|
|||
В таблице 1.5 |
приведены средние значения модуля |
|||||||||
упругости П рода |
для наиболее распространенных ма |
|||||||||
териалов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.5 |
|
|
Наименование: |
|
|
|
? |
|
Наименование: ^ |
~ |
|||
материала |
: |
Q- кГ/смй |
материала : Сх кГ/см^ |
|||||||
Углеродистые |
|
|
|
с |
|
Чугун |
4,5-Ю |
5 |
|
|
стали |
|
8,1'Кг |
|
|
|
|
|
|||
Легированные |
|
|
|
с |
|
Алюминий.... 2,6'Ю |
5 |
|
||
стали |
|
8,1'Кг |
|
|
|
|
|
|||
Медь |
4«Ю |
5 |
*4,9«10 |
5 |
Дерево вдоль |
|
с |
|||
|
|
|
|
|
|
|
волокон |
0,055'Ю5 |
|
|
146
§4.5. Кручение круглых стержней
При эксплуатации технологического оборудования пи щевых производств (закаточно-укупорочные машины; авто маты для розлива пищевых жидкостей, машины для изгот ления шоколадных изделий и др.) приходится встречаться о явлением деформации кручения некоторых деталей этих шин: валов, пружин и т.д.
Кручением называется такой вид деформации, при ко тором в поперечных сечениях стержня (вала) возникает лишь один внутренний силовой фактор - крутящий момент т.е. если внутренние усилия приводятся к паре сил. Эт момент будем обозначать буквой М% .
Следует подчеркнуть, что возникновение внутренних крутящих моментов Мк происходит под действием внешни моментов, которые передаются на вал в зонах посадки неге зубчатых колес, шкивов и т.д.
Кручение будет происходить при действии на вал них пар сил, лежащих в плоскости перпендикулярной к е осИс Будем называть в дальнейшем моменты этих внешни пар окручивающими. Чтобы познакомиться с явлением круч ния представим круглый стержень, заделанный с одного конца, а к свободному концу его приложен внешний скр вающий момент (рис.4.5). Как видно из этого рисунка вследствие ваделки левого конца этот стержень будет чиваться. Если на поверхность вала предварительно нан сем сетки линий, параллельных и перпендикулярных к ег оои, то в результате закручивания этого вала будет п исходить деформация указанной сетки, т.е. образующие принимают вид винтовой линии, а окружности останутся кими же неискаженными как и до закручивания.
В основу расчета круглых стержней при кручении п ложены следующие основные допущения:
IV?
Рис.4.5
1. Сечения бывшие до деформации плоскими и перпен дикулярными к оси стержня остаются такими же плоскими перпендикулярными к ней и после деформации, т.е. после закручивания.
2.Образующие стержня превращаются в винтовые лини т.е. происходит сдвиг частиц и в поперечных сечениях в никают касательные напряжения.
3.Углы поворота сечения тем больше, чем дальше с чение отстоит от места закрепления.
4.Радиусы поперечных сечений не искривляются и со раняют свою длину.
5.Принимается закон Гука, т.е. соблюдается прямая пропорциональность между крутящим моментом и утлом за кручивания в пределах упругих деформаций.
§5.5. Напряжения при кручении,круглого стержня. Расчетное уравнение на прочность
Для определения напряжений, действующих по сечения перпендикулярно к оси стержня воспользуемся методом сеч
148
ний. С этой целью вырежем из круглого стержня элемен длиной обе и нарисуем его в большом масштабе (рис.5.
Рис.5.5,а
Допустим, что вследствие кручения концы этого элемента повернулись на малый угол d'f .
Условимся, что передний конец этого элемента непо жен, как изображено на рис.5.5,а, а задний - повернулся на угол d f так, что радиус 01 занял новое положение 02. Угол с/У будем называть углом закручивания на дл не dec , Вследствие этого, образующая I - I займет ново положение 2-1 и повернется против своего прежнего поло жения на угол У , который будем называть углом сдв
Определим зависимость между углом сдвига и углом закручивания, Из рисунка 5,5,а нетрудно заметить:
•f-Z т {fdoc , но о другой стороны имеем:
,ГЛ j f
Приравнивая ати выражения, получим:
ftclx=J>'df ; откуда^у?^ |
(а) |
Пользуясь формулой закона Гука при сдвиге (3.5),
149
получим: - ^ |
Тогда подставив в наше выраже- |
ние (а) значение ^ |
, будем иметь: |
|
(8.5) |
Из последнего уравнения (8.5) следует, что величина касательных напряжений, возникающих в любой точке попе речного сечения пропорционально радиусу_у° , т.е. рас стоянию от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки.
Для нахождения этих напряжений возьмем любую точку поперечного сечения (изображенной на рис.5.5,б), отстоя
щей от центра круга на рас
стоянии |
и выделим во |
|
круг этой точки элементар |
||
ную площадку c/F |
. Тогда |
|
усилие,приложенное к ней |
||
будет равнос//=о>> / г'-?' |
||
Момент этого усилия отно |
||
сительно точки Oi |
будет |
|
соответственно равен:
Рис.5.5,б
Считая площадку c/F бесконечно малой, можно опре делить сумму моментов всех сил,как определенный интегра распространенный по всей площади сечения, т.е.:
А/, Составив условие равновесия для данного сечения относи тельно оси OOi , имеем:
Из этой формулы следует, что крутящий момент есть сумма внутренних сил, действующих в плоскости сечения.
150