Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

Подставив в формулу (9.5) значение 2" из уравне­ ния (8.5), получим:

Формула (10.5) служит для определения относительного угла закручивания (т.е. угол закручивания на единицу дли ны вала).

Подставив формулу (10.5) в уравнение (8.5) получим:

(П.5)

Формула(П.5) дает возможность определить касатель­ ные напряжения в любой точке поперечного сечения.Поль­ зуясь этой формулой, нетрудно установить, что наибольшие касательные напряжения будут возникать на поверхности круглого стержня, т.е. когда ^ Z ,

При эхом условии наша формула ( I I . 5 ) перепишется в оледующем виде:

Выясним картину распределения каоательных напряже­ ний по поперечному сечению круглого стержня, т.е. по­ строим эпюру этих напряжений по рассматриваемому сече­ нию (рис.б.5). Из этого рисунка видно, что при кручении касательные напряжения распределяются в поперечном се­ чении вала по линейному закону, возрастая ох центра к

151

его наружной поверхности, где достигает максимального значения, т.е.

, у/о (13.5), где И/£> - момент сопротив­ -3? = ИЛ

ления при кручении (или полярный момент сопротивления

Полярный момент со­ противления при круче­ нии равен полярному моменту инерции, де­ ленному на расстояние от центра круга до наиболее удаленной точки.

Рис.6.5

В этом случае формула (12.5) запишется так:

Z

Наибольшее касательное напряжение в опасном сече­ нии (т.е. в точках контура его поперечного сечения) будет равно:

в

торое при статической нагрузке принимают равным /Т/

-=[0,5 + 0,$£б)>] .

152

Формула (15.5) является расчетным уравнением на прочность при кручении.

Чтобы пользоваться этой формулой необходимо уметь определять полярный момент сопротивления поперечного с чения стержня.

Для круглого поперечного сечения получаем:

(16.5),

где

Для кольцевого сечения (рис.7.5) имеем:

(17.5),

3 этой формуле (17.5) полярной момент сопротивле­ ния кольцевого сечения не равен разности полярных моментов сопротивления, вычисленных для двух сплош­ ных сечений: одного о диа­ метром, соответствующему величине наружного диамет­ ра кольца, а второго - внутреннему.

Рис.7.5

153

§ 6.5. Деформации при кручении круглого стержня. Потенциальная энергия при кручении

Мерой деформации стержня при кручении является угол закручивания. Он характеризует угол взаимного пов рота двух сечений, расположенных друг от друга на оп деленном расстоянии £ .

Элементарный угол закручивания o f может быть опр делен из формулы (10.5), т.е.:

Полный угол закручивания стержня на участке длино ^ , где крутящий и полярный моменты инерции имеют

стоянные значения, будет соответственно равен:

Из формулы (17.5) вытекает, что угол закручивания прямопропорционален крутящему моменту и длине учаотка обратнопропорционален жесткости поперечного сечения ма­ териала ( G-Jjo ) . Для случая, когда крутящий момент момент инерции) будет непрерывно меняться по длине ст ня, полный угол закручивания определится интегралом, т.

Х

У= / Мк'<* (19.5)

Если на стержень действует несколько крутящих мо­ ментов, то полный угол закручивания произвольного сече равен алгебраической сумме полных углов закручивания н участке от этого сечения до яеподвижного сечения, т.

154

- крутящий момент на участке, значение которого берем из эпюры крутящих моментов.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины носит название относительного угла закручивания, кото­ рый равен:

(21.5)

Чтобы обеспечить необходимую жесткость вала нужно, чтобы максимальное значение этого угла закручивания не превосходило допускаемого, т.е.

(22.5)

Эта формула является расчетным уравнением на жеот кость при кручении.

При закручивании стержня в нем накапливается поте циальная энергия. Определим величину чтой энергии. Для этого рассмотрим круглый стержень (в дальнейшем будем называть его валом), закрепленный одним концом, а к св бодному концу которого приложим скручивающий момент. Вследствие этого вал будет постепенно закручиваться по действием указанного момента на угол *Р .

Если будем откладывать на оси ординат значения крутящих моментов - Мк. , а на оси абсцисс - ]Р (рис.8.5), то эта зависимость изобразится наклонной ли­

155

Рис.8.5

Если снимем со стержня нагрузку (крутящий момент;, то под действием внутренних сил стержень возвратится первоначальное состояние. При этом стержнем будет совер шена работа за счет накопленной потенциальной энергии. Подставляя вместо ^ его значение из формулы (17.5) в выражение (а) и, зная, что U' — /7 получим:

ич^г-Ъ^-щ:~ ~гЩ (2з.5)

Если по всей длине стержня изменяются значения - Мк. или жесткость поперечного сечения стержня, то эт формула перепишется так:

Miic/X

(24.5)

156

§7.5. Связь между крутящим моментом, мощностью

ичислом оборотов,передаваемых валом

Винженерной практике, как правило, задается не значение скручивающего момента, а мощность, передавае­ мая валом. Это связано с тем, что возникает необходи­ мость в определении числа оборотов этого вала в мину Поэтому необходимо выяснить зависимость крутящего мо­ мента от мощности, передаваемой валом.

Если мощность задана в лошадиных силах, то в пер воде на килограммометры она разна 75 кгм ( т.к. I л.с. « 75 кгм). Угловая скорость lO~ ёЖИ. , поэтому подставив соответствующие значения в выражение (а), на

157

ходим величину крутящего момента:

Исходя из того, что I л.с. = 0,736 квт, то наше вы ражение можно записать в виде:

М к =Щ^~- 9Ц£%*Гм= 9?360%*Го« (2б.5)

§ 8.5. Определение диаметра вала из условия проч­ ности и жесткости

Часто приходится иметь дело с инженерными расчета связанными с вычислением диаметров вала из условия про ности и жесткости.

I ) Из условия прочности используем уравнение (15.5)

^млж ~ ~щ; ^ ft]

Это уравнение можно переписать в другом виде, учи

Полученное числовое значение диаметра вала округля­ ют до ближайшего значения, предусмотренного ОСТ 1654.

158

2) Из условия жесткости применяем уравнение (22.5), т.е.

Опытными данными установлено, что относительный угол закручивания имеет допустимые пределы: в обычных у

На практике ^ измеряется в градусах. Переход к градусам производится пс известной формуле, т.е.

т

Тогда наше уравнение (29.5) может быть записано та

§ 9.5. Эпюры крутящих моментов и углов закручивания

Чтобы судить о характере изменения крутящих момен тов и углов закручивания по длине вала строят соотв вующие эпюры.

Расчет вала на прочность связан с определением н эпюре крутящих моментов максимального значения скручива щего момента. Расчет вала на жесткость предусматривает хождение на эпюре углов закручивания максимального отн сительного угла закручивания. .

Построение указанных эпюр приобретает большое зна­ чение при выполнении указанных расчетов. Для построени эпюры крутящих моментов необходимо написать уравнения крутящих моментов, пользуясь методом сечений. Причем,для одного и того же вала при рассечении на разных учас мысленно отбрасывают определенную часть (правую) вала рассматривают равновесие оставшейся левой части. Дейст­ вие отброшенной части заменяют крутящим моментом М% , который уравновешивает внешний скручивающий момент. Та­ ким образом, крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала могут быть определены по внешним скруч вающим моментам. В том случае, когда на каком-либо уч стке вала нужно отбросить другую часть (левую), то зн крутящего момента меняется на обратный.

Следует строго разграничить понятия скручивающего момента и крутящего момента. Под крутящим моментом бу понимать только внутренний силовой фактор, а под скру вающим моментом - внешний момент, приложенный к валу.

Условимся считать крутящий момент положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала этот мент направлен по часовой стрелке и отрицательным в ратном случае (рис.10.5).

Чтобы уяснить правило знаков крутящего момента

160

рассмотрим вал, изображенный на рис.II.5,а, к которому приложены три внешних скручивающих момента, и построим эпюру крутящих моментов.

Рис.II.5,б

161

Решение

Для построения эпюры крутящих моментов используем метод сечений. С этой целью разбиваем вал на два уча ка ( I - I и 2-2, показанных на рис.II.5,а). Возьмем мысле но .разрез на расстоянии^ от левого конца (рис.12.5,а и оставим левую часть. Для замены отброшенной правой ч ти прикладываем в сечении I - I крутящий момент •

Рис.12.5 Напишем уравнение равновесия.

ТМж=0) ИеГМ,=0 откуда Мк4~ М<= 6С кГм

Рассмотрим второй участок (рис.12.5,^). Оставляем левую часть и для равновезия оставшейся части приклады ем в сечении 2-2 крутящий момент М*^ , т.е. имеем:

, откуда

Чтобы рассмотреть третий участок (риаЛ2.5,£) мы

идем справа, так как приложен один внешний момент М$ ^/ЗО/сЛч и напишем аналогично условие равнове

сия оставшейся правой части: . 27% —О

162