Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

шипит /77

Рис.29.б,a

Решение

Используем принцип независимости действия сил, согласно которого эпюры поперечных сил и изгибающих м ментов от одновременного действия нагрузок ^ , Р и М могут быть определены суммированием отдельных со­ ответствующих эпюр, построенных от каждой нагрузки в отдельности. В связи с этим, построим раздельно эпхи ры Q и М от указанных нагрузок и затем ординаты

их сложим. При этом нужно иметь ввиду, что указанные эпюры должны быть построены в одном и том же масшта На рис. (29.6, б, в, г) построены эпюры попереч­

ных сил от каждой нагрузки в отдельности, а на рису (29.6,д) изображена суммарная эпюра поперечных сил Q .

На рисунке (29.6, е, ж, з) изображены эпюры изги­ бающих моментов от каждой нагрузки, а на рисунке (29.6,и) построена суммарная эпюра изгибающих моментов.

Как видно из рисунка (29.6) суммарные эпюры Q и М получены путем сложения ординат соответствующих эпюр, построенных для каждой нагрузки в отдельности.

Иногда приходится встречаться с построением эпюр от заданной нагрузки, когда требуется сложить ординаты разных знаков этих эпюр в рассматриваемых сечениях ба ки. Полученные значения суммарных ординат дают возмо* ность построить окончательные эпюры поперечных сил v изгибающих моментов.

224

Пример 14.6

Построить суммарные эпюры поперечных сил и изг бающих моментов для консольной балки, изображенное н рис. (30.б,с).

Решение

Применяем принцип независимости действия сил и

строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

3

силы/ и от нагрузки ^. (рис.30.б, б, в, е, ж). Чтобы сложить две эпюры, имеющие разные знаки, нуж при построении отложить их ординаты в одну сторону оси. В этом случае эпюры окажутся наложенными друг друга и взаимно уничтожатся на совпадающих частях

Чтобы придать эпюрам Q и А/ , необходимо их перестроить, для чего откладываем положительные значе ния ординаты вверх и отрицательные - вниз от гориз тальной оси и получаем суммарные соответствующие эпю

Й и Af , показанные на рис. (30.б, д, и).

Контрольные вопросы

1. Что называется изгибом?

2.В чем состоит различие чистого изгиба от п речного?

3.Что называется прямым, косым изгибом и в че их отличие?

4.Какие существуют опорные закрепления балок и чем отличаются друг от друга?

5.В чем состоит сущность метода сечений при гибе и для чего он служит?

227

6. Какие дифференциальные зависимости вытекают из теоремы Журавского? Какие следствия могут вытекать из этих зависимостей?

7.Что называется эпюрой внутренних силовых фак­

торов?

8.Как можно определить М Н 9 . участке балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой?

9. Что называется участком балки?

10. Укажите правила, которыми нужно руководство­

ваться при построении эпюр Q и Af ?

11. Какие существуют способы проверки построения эпюр и в чем их сущность?

12. В чем состоит особенность метода сложения дей­ ствия сил при построении эпюр Q и М ?

228

ГЛАВА УП

Напряжения при изгибе

§ 1.7, Чистый изгиб. Положение нейтральной линии при изгибе

В главе У1 было отмечено, что при чистом изгибе поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю, причем изгибающи момент будет иметь постоянную величину. В связи с эти рассмотрим деформацию балки, по концам которой приложе­ ны изгибающие моментыМ (рис.1.7).

229

нах с:сатие постепенно уменьшается и в некоторый про жуток времени на определенной высоте переходит в рас жение. Причем растяжение будет возрастать и достигает своего наибольшего значения в крайних нижних волокна Опытным путем установлено, что на границе сжатых и тянутых волокон существует такой слой, волокна которо не испытывают ни растяжения, ни сжатия, т.е. длина кон остается неизменной. Этот слой называется нейтрал ным слоем. ,

Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным чением балки называется нейтральной линией или осью. обходимо отметить, что при чистом изгибе приняты сле щие допущения;

1. Плоские поперечные сечения балки, бывшие до д формации плоскими, остаются такими же плоскими после гиба. Это эначает, что эти сечения при изгибе тольк ворачиваются на некоторый угол, оставаясь перпендикуля ными к нейтральному слою. Это допущение называется г тезой плоских сечений.

2.Между продольными волокнами отсутствует взаим­ ное силовое воздействие, т.е. не производят одно на гое бокового давления.

3.Имеет место закон Гука»

4.Материал должен быть однородным и изотропным. Опытным путем также выяснено, что поворот попер

ных сечений при изгибе происходит вокруг нейтральной нии. В связи с этим приведем доказательства о том, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечен и что она является главной осью инерции.

а)Докажем, что нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Для доказательства этого положения вырежем из б ки элемент длиной dx, поперечными сечениями I - I и 2

230

(рис.2.7,а).

Рис.2.7,а

Этот элемент по сечению I - I изображен на рис.2.7,6. Согласно гипотезы плоских сечений при изгибе балки се ние 2-2 повернется на угол d<f , займет положение Z* -

и останется плоским.

#

Если линии I - I и 2 - Z' продлить, то получим точк пересечения (точка 0 на рис.2.7,а) - центр кривизны изог нутой оси балки.

Обозначим расстояние от точки 0 до нейтрального слоя через . Выделим на расстоянии ^ от нейтраль ного слоя волокно, длина которого, как видно из рис будет равна dx+ AdCC

231.

Найдеи относительное удлинение этого волокна по формуле (1,2), т.е.

Но из рисунка можно заметить, что/кУЭГ^о^

Иdx = JDdf

Подставим значения dbc и АО^Съ выражение (а),

Из формулы закона Гука (10.2) следует, что£=££ Или подставив вместо £ его значение в формулу для & , получим:

Тогда наше выражение, исходя из формулы (б), пер

232

:

тогдаинтеграл будет равен нулю, i*Q,iJf?d/ =0-Su.jJL

F

где *^нл ~ статический ыоиент сечения.

Так как статический момент сечения относительно н тральной линии равен нулю, то нейтральная линия прохо через центр тяжести сечения.

б) Докажем, что нейтральная линия является главной осью инерции.

Для доказательства возьмем второе уравнение статик

как

ЗЕМц? О» показано на рис.3.7,г; из рисунка 3.7, следует^ ч т о ( Q j , но 6'= £JL

Рис.3.7,г

233

мент инерции относительно нейтральной оси и оси ^ .

в) Нормальные напряжения при изгибе.

Так как равнодействующая продольных сил, действующ в сечении, равна нулю, то эти силы приводятся к пар момент которой должен быть равен изгибающему моменту т.е. сумма моментов внутренних сил есть изгибающий мо Тогда можно записать так:

(а)

234