Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

нейтральная

линия

Рис.4.7

Подставив значение & из выражения (б) в равенство (а), получим:J&dF£~JB^dF-y^Mz

-кривизна изогнутой оси балки и характеризует в личину деформации при изгибе;

-жесткость балки.

Из формулы (1.7) следует, что кривизна равна изги­ бающему моменту, деленному на жесткость балки.

295

Формула (2.7) служит для определения напряжений в любой точке поперечного сечения балки, где Л/г - изги­ бающий момент относительно нейтральной линии; J - осе­ вой момент инерции относительно нейтральной линии; JL- расстояние от центральной линии до той точки, где опр ляют напряжение.

Анализ этой формулы показывает, что наибольшие нор мальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удале ных от нейтральной оси. На нейтральной линии нормальны напряжения равны нулю. Поэтому эпюра нормальных напряже ний по поперечному сечению будет иметь вид треугольник (рис.5.7).

нейтраль

ось

<2>тах

Рис.5.7

Из этого рисунка нетрудно заметить, что максималь­ ные нормальные напряжения будут в точках наиболее удал ных от нейтральной линии, т.е. когда ty^^f^x. «Тогда формулу (2.7) можно выразить следующим образом:

236

ния при изгибе равен моменту инерции, деленному на рас­ стояние от нейтральной оси до наиболее удаленного волок на.

Тогда расчетное уравнение на прочность при изгибе можно записать в следующем виде:

Mi

Из этой формулы следует, что условие прочности бал­ ки будет обеспечено в том случае, когда наибольшее рас­ тягивающее (или сжимающее) напряженке при изгибе в опас­ ном сечении (где по абсолютной величине достигает наи­ большего значения) не будет превышать соответствующего допускаемого напряжения.

Чтобы вычислить по формуле (5.7) наибольшее нормаль­ ное напряжение необходимо уметь определять моменты сопро­ тивления широко распространенных поперечных сечений.

а) прямоугольник (рис.6.7).

прямоугольник Для вычисления момента сопротивления поперечного

сечения прямоугольника ис­ пользуем формулу (4.7), согласно которой будем иметь:

В_

Рис.6.7

237

б) Круг (рис.7.7).

Для этой фигуры круг также применяем

формулу (4.7) и за­ пишем:

в) Кольцо (рис.8.7).

Для кольцевого сечения (с наружным диаметром и внутренним - с/ ) момент сопротивления будет равен:

238.

У

(9.7)

выражают соответственно расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных рас­ тянутых и сжатых волокон.

Что касается прокатных сечений (швеллеры, двутав­ ры и т . д . ) , то значения моментов сопротивления при из­ гибе даются в соответствующих таблицах сортамента.

Пользуясь расчетным уравнением (5.7) можно подоб­ рать сечение балки, т . е .

239

Зная величину момента сопротивления V/g монно за­ тем определить величину допускаемого изгибающего момент который будет равен:

(П.?)

По значению этого момента легко найти величину д пускаемой нагрузки.

Рассмотрим несколько конкретных примеров, связанных с расчетом на прочность при изгибе. При этом предусма вается вычисление момента сопротивления заданного попе­ речного сечения, который определяется с учетом максимал ного изгибающего момента и соответствующего допускаемого напряжения. Для подбора прокатных сечений полученное зн чение VVg. сравнивают с ближайшим значением по таблице сортамента. Это дает возможность подобрать соответствую­ щий профиль прокатного сечения.

Пример 1.7

Для балки стальной, нагруженной равномерно распреде ленной нагрузкой и сосредоточенной силой Р= 1,0 т требуется подобрать профиль швеллерного поперечного се­ чения при jp~j= 1600 кГ/см2 (рис.9.7,а).

Решение

I . Определяем опорные реакции: 71Mfj=0

2 W

следовательно, реакции найдены верно.

Затем разбиваем балку на четыре участка, как изо

ражено на рис.9.7,а. Используя метод сечения, находим

ля

числовые значения А4К Д каждого рассматриваемого уча­ стка балки раздельно. По найденным значениям этих мом тов строим эпюру изгибающих моментов (рис.9.7,б).

После этого подбираем стальную балку швеллерного перечного сечения. С этой целью по формуле (10.7) выч ляем момент сопротивления W% , т.е.

И 4 У*"** »где из эпюры Л £ ^ - = О,9£Гг/у Тогда

По таблице сортамента подбираем швеллерную балку, у которой И £ = $У/ 7- см * • соответствующий швел­ леру № 12.

241

0,8тм JU/naA*0,S6rM

4т

б) ЭМ

Рис.9.7

Пример 2.7 Для консольной деревянной балки, изображенной на

рис.10.7,а, требуется определить диаметр балки, если

242

Рис.10.7

Решение

Для того, чтобы определить диаметр деревянной ки нужно знать наибольший изгибающий момент, котор можно получить из эпюры изгибающих моментов (рис Для консольной балки максимальный изгибающий момент дет в заделке, как видно из рис.10.7,а. Он будет

- 3,5 тм, по которому и будем находить иско диаметр балки.

Используем формулу (10.7), по которой вычисляем момент сопротивления круглого поперечного сечения д

243