Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

ГЛАВА IX

Сложное сопротивление

§ 1.9. Виды сложного сопротивления

Сложный сопротивлением называется такой вид де­ формации, при котором на элемент конструкции действу­ ют одновременно силы, вызывающие растяжение с изгибом изгиб с кручением, изгиб с растяжением и т.д.

К сложному сопротивлению относятся: 1. Косой изгиб.

2.Внецентранное растяжение или сжатие.

3.Сочетание изгиба с кручением.

4.Общий случай действия сил на брус круглого сечения.

§ 2.9. Косой изгиб

Косым изгибом называется такой случай изгиба, при котором плоскость действия нагрузки не совпадает ни одной из главных осей инерции.

Балка круглого или квадратного сечения не может испытывать косого изгиба, так как у этих сечений вс оси являются главными.

Определим напряжения, которые возникают при косок изгибе. В качестве примера возьмем брус, заделанный од ним концом (рис.1.9,а), нагруженный на свободном конца силой Р, расположенной в плоскости поперечного сечения и наклоненной под углом о( к вертикальной оои .

Силу Р разложим на две составляющие: рсНа( и P. Si'noL , направленные по главным осям поперечного

сечения, как изображено на рис.1.9,а.

346

Рис.I.9

347

Опасное сечение будет в заделке, так как здесь дей

вует наибольший изгибающий момент, равный:

М^РсМо(^ 7

Применяя принцип независимости действия сил, опре­ делим напряжения и прогибы, возникающие при одновреме ном действии изгибающих моментов Му. и Afz . Следо­ вательно, косой изгиб можно свести к двум плоским и гибам.

Так при действии одного момента М% нейтральной осью будет 2 (рис.1.9,б), а нормальноенапряжение для произвольно выбранной точки А с координатами It взятой в первом квадрате опасного сечения (заулки) числяется по формуле:

От действия только момента Mg. (рис.1,9,в) напря­ жение в указанной точке будет равно:

При одновременном действии этих двух моментов

иMg напряжение в любой точке будет равно алгебра

ческой сумме напряжений 6^. и 6£ , т.е. для точ­ ки А (рис.1.9,г) будет выражаться следующим уравнением

348

ляются со своими знаками.

Правило знаков изгибающих моментов при косом из­ гибе: если изгибающий момент растягивает волокна поло­ жительного квадранта, то знак положительный и наоборот Для нахождения уравнения нейтральной линии необхо­

димо формулу (1.9) приравнять нулю, так как в любой ке нейтральной линии нормальные напряжения равны нулю, т.е.

- уравнение нейтральной линии, где 2 о и ^ а - коор­ динаты точки на нейтральной линии.

Преобразуем эту формулу, разделив обе части на

Но из рис. (1.9,г) видно, что %о в ^ j S

Тогда наше выражение (а) можно записать в следую­ щем виде:

выражения ( I ) , получим:

(4.9)

349

Из формулы (4.9) нетрудно заметить, что для таких

e

оечений, у которых «З-ж j £ (квадрат, круг) нейтраль­ ная линия будет перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента.

Формулы (3.9) и (4.9) слукат для определения на­ клона нейтральной линии.

Прогиб бруоа при косом изгибе (рис.1.9,г) вычисля

-

ется путем геометрического сумь"рования двух прогибов

Величина полного перемещения при косом изгибе опр деляется по следующей формуле:

Пример 1.9

Дерезянная балка & = 1,4 м прямоугольного попе­ речного сечения, заделанная одним концом, нагружена си лой Р - 100 кГ, лежащей в плоскости поперечного сечени и наклоненной под углом ^ = 20° в вертикальной оси (рис.2.9). Требуется:

1) Подобрать размеры поперечного сечения П 2 и & при допускаемом напряжении /р"]* 80 кГ/см.

2)Определить положен .е нейтрального слоя.

3)Найти величины вертикального и горизонтального перемещений конца балки.

350

Определяем моменты инерции поперечного сечения от­ носительно осей и Ъ.

Находим положение нейтральной линии при косом из­ гибе, которая проходит через центр тяжести сечения, формуле (3.9), т.е.

1,4469 находим по соответствующим таблицам

'& = - 55°40.

Откладываем угол J& по часовой стрелке от оси (рис.2.9).

Подбираем размеры поперечного сечения при косом изгибе, для чего используем формулу (1.9)

где У- и 2" " координаты точки, где определяются напряжения.

3 нашем случае такими являются точки 1,2 (рис.2.9 как наиболее удаленные точки от нейтральной линии, в

352

рых будут наибольшие значения нормальных напряжений по абсолютной величине.

Следует заметить, что положительное направление осей 2- и сечения выбираем так, чтобы точки право­ го верхнего квадранта в любом сечении по длине балки действия обоих моментов испытывали растяжение. Согласно принятому направлению наибольшее растягивающее напряже­

откуда

Следовательно, размеры поперечного сечения будут:

Определяем величины горизонтального и вертикально­ го перемещений конца балки по формуле:

ъъъ

где для сосны £»CtY- 40* см*-

Суммарный прогиб всегда направлен перпендикулярно к нейтральной линии и который вычисляется по формуле (5.9), т.е.:

§3.9. Внецентренное растяжение или сжатие

Втом случае, когда сила действует эксцентрично по отношению оси бруса имеет место внецентренное рас жение или сжатие.

Рассмотрим случай, при котором продольная сила Р, растягивающая брус, не лежит ни в одной из двух гла плоскостей бруса ЕОЗСяty-OZC(рис.3.9). Пусть брус растягивается силой Р, параллельной оси бруса, причем точка приложения А этой силы не лежит в главных пло

тях бруса, а отстоит на расстоянии (Djf^C , где эксцентриситет продольной силы (расстояние ее точки пр жения от центра тяжести сечения).

ные стороны, получим М=РСя силу Р, действующую в центре тяжести в точке 0, направленную вверх, которая

на два момента, которые действуют в главных плоскостя 2<52Г к^СОХ .

354