лимых стержневых систем является то, что при удалении лишних связей получаемая конструкция должна быть гео метрически неизменяемой, т.е. перемещения точек систе мы должны происходить только за счет деформаций ее ментов. Обычно лишними связями в статически неопредели мой системе являются дополнительные опоры. Что касаетс статически определимой системы, то удаление какой-либо связи приводит к превращению системы в механизм. След вательно, статически определимая система имеет минималь но необходимое количество связей для обеспечения ее метрической неизменяемости.
Решение статически неопределимых систем связано с установлением статически неопределимости системы и со ставлением так называемых канонических уравнений,число которых равно числу лишних неизвестных.
§ 2.10. Канонические уравнения метода сил
Как известно, решение статически неопределимых си стем требует составления дополнительных уравнений дефор маций (перемещений) системы. С этой целью заданную ст тически неопределимую систему превращают в статически определимую путем отбрасывания из нее лишних связей, т.е. получают так называемую основную систему.
Следует отметить, что устранение лишних связей не должно изменять величину внутренних усилий, возникающих в системе, а также ее деформаций в том случав, если ней будут приложены силовые факторы (силы и моменты) взамен отброшенных связей. Иначе говоря, что если к основной системе, помимо заданной нагрузки, приложить реакции отброшенных связей, то возникающие в ней внут ренние усилия и ее деформации должны быть такими же как и в заданной сиотеме, т.е. указанные две оистемы должны быть одинаковыми.
3%
3 заданной системе перемещений не должно быть в направлениях, имеющих СВЕЗИ (В том числе и в направле ниях отброшенных связей). Следовательно, и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны быть равны нулю.
Исходя из принципа независимости действия сил ус ловие равенства нулю перемещений по направлению отбро шенных связей записывается в следующем виде:
Ai^A^tutz?-- |
|
|
Ai'P |
|
(2Л0) |
Как видно из указанного |
выражения, при Л |
стоят |
два индекса. Первый индекс указывает направление пере |
мещения (и одновременно |
номер |
отброшенной |
связи), а вто |
рой индекс указывает |
на причину, вызвавшую перемещение. |
Таким |
образок, |
слагаемое |
Ацр будет |
означать пе |
ремещение |
по направлении реакции свяак С |
« вкэвшшов |
действием |
заданной нагрузки. |
|
|
через С |
Обозначив величину |
реакции связи К |
и выразим |
перемещения |
Аск через единичные перемеще |
ния с помощью равенства |
А1/сяЭ£, '<Pfc |
(здесь применена другая буква, чтобы подчеркнуть, что это перецещение вызвано не единичной силой, а всей за данной нагрузкой) мохно записать условие (2*10) s ем дуюдеи виде:
Таким образом, систеиа Н. уравнений, тршшщиё отсутствие переиещенйй по направление зеех отброшша связей, примет слэдущий вид: п
Х,<Яг+Хг<Р,£Г 'Wn+AurO 7
Зтк уравнения пригодны для расчета любой /Z. -крат но статически неопределимой системы и называется канон ческими уравнениями метода сил, так как составляются п определенному правилу (канону). Указанные уравнения яв ляются теми дополнительными уравнениями деформаций (пе ремещений), которые дают возможность раскрыть статичес кую неопределимость заданной системы. Число этих уравн ний равно числу отброшенных связе", т.е. равно степен статической неопределимости заданной системы.
Первое из этих уравнений выражает мысль о равен ве нулю перемещений в основной системе по направлению вой отброшенной связи (по направлению усилия J(t ) , в рое - по направлению второй отброшенной связи (по нап
лению усилия Хг |
) и |
т'д* |
|
Решая эти уравнения находим значения лишних неиз |
вестных усилий Xf |
, |
Хг. |
Л/7 • Затем произво |
дим расчет основной статически определимой системы на
совместное действие заданной нагрузки и найденных знач ний X/ • Хг, Хп. •
Чтобы уяснить физический смысл канонических уравне ний рассмотрим конкретный пример.
В качестве примера возьмем статическую неопредели мую систему из ранее приведенного примера (рис.7.10).
Как видно из рисунка (7.10), заданная система явл ется дважды статически неопределимой системой, так как в точке & шарнирно-неподвижная опора, которая имеет две неизвестные реакции (горизонтальную и вертикальную составляющие) и заделка в опоре А дает три неизвестн реакции (опорный момент, горизонтальная и вертикальная составляющая). Степень статической неопределимости бу дет равна:
5 - 3 = 2, т.е. рама дважды статически неопредели ма. Следовательно, для расчета статически неопределимой системы нужно составить два канонических уравнения, ко
торые записываются следующим образом:
где |
сР//^^ горизонтальное перемещение точки В в |
напраз^" |
причина |
направлении |
I от силы I рав- |
л е н ' 5 |
е |
|
ной единице |
J2£ = |
I (рис. |
|
|
|
7.10,6); |
|
|
|
а |
~ горизонтальное перемещение точки В в на |
|
O/z |
|
|
правлении |
I от силы I разной единице |
|
Atp |
Х~= I |
(рис.7.10,в); |
|
|
|
- горизонтальное перемещение точки В в на |
|
|
правлении"! от заданной |
силы ^ |
(рис. |
|
|
7.10,а); |
|
|
|
(Pti Xf - горвзснтальное перемещение точки В в на
правлении I ОТ СИЛЫ yCf i
OfrXz. " горизонтальное перемещение точки В в на правлении I от силы Хг
Таким образом, смысл первого канонического урав ния состоит в том-, что суммарное горизонтальное пе щение прагого шарнира относительно своей опоры от
стзия всех сил: внесяах - |
и внутренних - Хе |
Хх равно нулю. Иначе говоря, |
перемещение опоры (В |
горизонтальном направлении будет разно нулю. Аналоги смысл второго канонического уравнения заключается в что суммарное вертикальное перемещение правого шарн относительно своей опоры от действия всех
сил: сил Ху и Xz г. от заданной - , т.е. п ремещенае опоры ( 3 ) в вертикальном направлении буде равно нулю.
В указанных канонических уравнениях единичные пе ремещения с одинаковыми цифрозыми индексами - (f,, ,
$ z z называются главными перемещениями. Единичные перемещения - $ i Z и Сг/ (с разными цифровыми индек сами) называются побочными перемещениями, которые на основании теоремы о взаимности перемещений равны между
собой, т.е. dj* |
= ol/ |
и т.д. |
• Перемещения |
Д/р |
, As.p называются перемещения |
ми от заданных |
сил. |
|
Главные перемещения будут всегда пологительны, по бочные и перемещения от заданных сил могут быть пол жительными или отрицательными.
Решение каноничезккх уравнений связано с определе нием коэффициентов сР„ , , Л/р и т.д., которые вычисляются путем перемножения соответствующих эпюр по способу Верещагина.
Чтобы уяснить методику расчета статически неопред лимых систем рассмотрим конкретные примеры.
§ 3.10. Расчет статически неопределимых систем
Пример 1.10
Для заданной статически неопределимой рамы (рис.8 требуется:
1. Определить степень статической неопределимости.
2.Выбрать основную систему.
3.Написать систему канонических уравнений метода
сил.
4. Поотроить эпюры изгибающих моментов от единичн сил и от внешней нагрузки и вычислить при помощи с Верещагина все перемещения, входящие в канонические ур нения.
5. Найти величины лишних неизвестных, решая систем канонических уравнений.
