щей виде
Подстазим выражение изгибавшего момента в форму лу ( I ) , получим: р . и
обозначим —= К"
Следовательно,
К•А
Тогда формула ( I ) запишется в следующем виде:
(2)
Рис.3.II
Неизвестные А и В определяем из граничных услов
(условий по концам стержня). |
|
|
|
В точке А при |
X. |
» 0 прогиб |
^ |
» |
0. |
Б точке В при |
X |
* £. прогиб |
J/ |
« |
0. |
Из первого условия следует:
О в А I , отсюда А = О.
Таким образом, изогнутая ось является синусоидой о уравнением
у |
iVwКХ. |
(3) |
Подставим второе условие ( sc-di |
у. в 0) в |
уравнение (2 ) будем иметь: |
|
Отсюда следует, |
что В или$^»Л"2равны нулю. Если В |
равно нулю, то из уравнения (3) получим, |
что прогиб в |
любом сечении стержня будет равен нулю, т.е. стержень
остался прямым. Это будет противоречить исходным предпо |
сылкам нашего вывода. Сдедоватльно, |
£смКб=0 |
и величина А"£ |
может иметь следующий бесконечный ряд |
значений: |
|
|
|
|
_ |
где |
Л - любое целое число. |
|
|
Величина |
fc£ |
может быть равна нулю при условии, |
если |
/св |
0, но тогда |
• . - |
Q |
_ |
|
it |
п |
EJmtn |
|
f\ |
Так как |
& |
и J |
- величины конечные, |
то гкр должно |
быть равно нулю, т.е. имеем стержень без нагрузки. Это
случай также отбрасываем: |
., |
•, |
Тогда К1~П-Л~ |
(а), «с К~= |
/ " Е ^ Т |
|
Подставив значение К |
в B-ырадовя* (а), будем иметь: |
Отсюда находим искомую величину критической силы при продольном изгибе:
где П. - число полуволн; минимальный момент инерции поперечного сече ния сторжня.
Уравнение ( I . I I ) является общим видом формулы Эйл ра для критической силы при продольном изгибе.
Обозначим через y^~Jz ~ обратная величина чис лу полуволн. Тогда эта формула примет следующий вид:
< 7 |
|
Jf :£JВторой |
вид |
~(f£)^L (2,II) |
фотт Эйлв~ |
гдеу^*- приведенная длина стержня;
JU - коэффициент приведения длины.
Эта формула ( 2 . I I ) является более распространенной для вычисления критической силы при продольном изгибе. Из этой формулы следует, что критическая сила при пр ном изгибе зависит от материала, жесткости и приведен длины, а также от способа закрепления концов стержня.
В связи с этим, рассмотрим четыре способа закреп ления концов стержня, которые влияют на величину кри ческой силы при продольном изгибе.
§ 3 . I I . Влияние способа закрепления концов стержня на величину критической силы
Рассмотрим четыре способа закрепления концов стер ня (рис.4.II) для определения критической силы при про дольном изгибе.
При сравнении первых двух рисунков ( 4 . I I , а, б) трудно заметить, что стержень с одним защемленным кон можно представить как стержень длиной Z& с шарнирнозакрепленными концами, изогнутая ось которого изображен на рис.4.II,б. В этом случав величину критической оилы
для стержня с одним защемленным концом определяют путе
подстановки в формулу |
( 2 . I I ) 1-L |
вместо £ |
и получаю |
формулу (4,11). |
|
|
|
Если рассмотрим стержень, у которого |
оба конца за |
щемлены (рис.4.П,в), то нетрудно |
заметить, |
что средняя |
часть стержня, длиной |
при искривленном Судет раб |
тать в тех же условиях, |
что и стержень при тарнирно-опор- |
ных концах (так как в точках перегиба I и 2 |
изгибающие м |
менты будут раьны нулю и поэтому и т и точки можно счи шарнирами). В этом случае величина критической силы д стержня с защемленными концами длиной £ , будет равн критической силе для стержня с аарнирно-опертыми концам
длиной .JL |
, которая вычисляется по формуле |
( 5 . I I ) . |
Для стержня, изображенного на рис, (4,П,г> |
с одним |
защемленным концом и другим шарнирно-опертым концом, ко
фициентyU- 0,7 |
и величина критической силы подсчитывает- |
ся по формуле (б.II). |
|
|
|
Как видно |
из рассмотренных четырех способов закреп |
ния концов стержня |
имеет следующие |
значения: |
|
для стержня |
с шарнирно-закрепленными концами ^/4 |
» I |
для стержня |
о одним заделанным и другим |
|
свободным концом |
|
» 2 |
для стержня с заделанными концами |
^Ьс |
=0,5 |
для стержня |
с одним заделанным и другим |
|
шарнирно-закрепленным концом |
=0,7 |
Из формулы |
( 2 . I I ) |
следует, что потеря устойчивости |
при искривлении стержня происходит обычно в плоскости, перпендикулярной главной оси минимум поперечного сече ния, т.е. сечения поворачиваются вокруг этой оси. Ври эт условии критическую силу определяют по значению главно центрального момента инерции 3»и*г
§ 4 . I I . Критические напряжения. Пределы применикости формулы Эйлера
Если известна величина критической силы, то можн определить критическое напряжение, которое возникает з стержне, когда он искривляется.
|
.1 |
|
|
|
|
где |
С£^= |
и |
LrnbC кикииальаый |
Радиус |
|
|
|
инерции. |
|
|
|
Обозначим |
«.Д |
- гибкость стержня* |
|
Подставим в наше выражение значение Д |
, будем |
иметь: |
|
|
|
|
|
Формула ( 7 . I I ) |
служит для опрделенкяп |
критическог |
иапряжения стержня по Эйлеру, Как видно из формулы тическое напряжение стержня зависит не только от уп свойств материала (модуля упругости £: ) , во и от кости отержня Д
Формула Эйлера справедлива лишь в пределах упру деформаций, т.е. до предела упругости,
Зыясним при какой гибкости справедлива форцула
2
Эйлера. Возьмем сталь 3, для которой б^»2100 кГ/см. Подставим числовые значения в формулу (7.II),буде
иметь: ,
X
Таким образом, формула Эйлера справедлива для с ли 3 тогда, когда гибкость будет больве 100, для де
475
больше НО и для чугуна больше 80.
Следует отмотить, что формула, полученная Эйлером, применима лишь для очень ограниченной категории стерж ней, включающие только тонкие и длинные с большой гиб костью.
На практике встречаются стержни с малой гибкость для которых формула Эйлера неприменима, так как крити ческое напряаоние, вычисленное по этой формуле, получа ется выше предела пропорциональности.
В связи с этим, профессором Петербургского институ та инженеров путей сообщения Ф.С.Ясинским была предло жена эмпирическая формула для указанных стержне;:, кото рая записывается в таком виде:
|
<o<f2-CL-£-\ |
( 8 Л 1 ) |
где Q. и % |
- коэффициенты, |
определяемые экспери |
|
ментально и зависящие от свойств ма |
|
териала. |
|
Формула |
( 8 . I I ) пригодна для вычисления критически» |
напряжений стержней из малоуглеродистой стали, имеющие
гибкость в пределах, |
равной Л в 40 «• 100. |
При гибкости J\ |
= 0 •+ 40 напряжение 6 ^ , считаем |
ся примерно постоянным и равным пределу текучести. Ясинским были получены величины коэффициентов
CL ъ @> для некоторых материалов, которые приводятся ж нижеодедующей таблице.
|
|
Таблица 1,11 |
|
материал |
Коэффициенты |
|
: CL, |
: |
|
|
|
|
3100 |
п л |
|
|
|
36,17 |
|
|
|
38,17 |
|
|
|
1,94 |
На рис.5.II приведен график, изображающий зависи мость критического напряжения 6*^, от гибкости стержня
J\ для Ст.З. Как видно из этого графика на участк от Д - 0 до X = 40 критическое напряжение име ет постоянное значение, а на участке от Д • 40 до _ « 100 это напряжение меняется по закону прямой и вы
ляемой по формуле Ясинского (8,11), При |
100 |
критическое напряжение определяется по формуле Эйлера (7.П).
Из этого рисунка также видно, что, когда гибкост меньше 100 для стали 3, то будем ь*еть пластическую дию продольного изгиба, В этой стадии формула Эйлера справедлива, а справедлива формула Ясинского, Так, для
стали 3 формула Ясинского ( 8 . I I ) |
записывается в следую |
щем виде: |
|
Екр+ЗЮО-Н&Х |
(9 . II) |
§ 4.П. Расчет стержней на устойчивость
Расчет сжатых стержней при продольном изгибе про водится из условия прочности и из условия устойчивос Условие устойчивости этих стержней может быть записан
