ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 38
Скачиваний: 0
О наименьшей температуре писали уже в 1690 г. фи лософ Дж. Локк (1632—1704), в 1699 г. Амонтон и в 1749 г. М. В. Ломоносов. Воздадим всем им должное.
В квазистатическом цикле Карно численное значе ние количества теплоты, которой холодильник обмени вается с системой, всегда меньше численного значения количества теплоты, которой нагреватель обменивается с системой. В предельном случае холодильник может совсем не получить теплоты от машины. Все количество теплоты, переданной нагревателем машине, превраща ется тогда в работу. Температура такого холодильника и есть самая низкая температура. Она равна нулю по тер модинамической шкале температур и по этой причине называется абсолютным нулем температуры. Приду
мана шкала, по которой самая низкая температура стре мится к бесконечности.
Существование самой низкой температуры — закон природы, следствие принципа эквивалентности и прин ципа Карно, а не особенность термометрической шкалы.
Коэффициент полезного действия квазистатического цикла Карно. Образуем теперь второе отношение, обещанное в начале предшествующего параграфа. Раз делим количество работы, произведенной системой в тепловом цикле Карно над источником работы, на коли чество теплоты, отданной нагревателем системе в этом
цикле.
Второе отношение называется коэффициентом полезного действия цикла Карно.
Количество работы, произведенной системой над источником работы, равно, по принципу эквивалентно сти, разности между количеством теплоты, отданной на гревателем системе, и количеством теплоты, полученной холодильником от системы. Надо из обеих частей урав нений (16) вычесть по единице, обе части результата разделить на обе части уравнения (16), и получим выра-
103
женце для коэффициента полезного действия, если цикл Карно квазистатический:
(коэффициент полезного действия квазистатического цикла Карно) = (количество работы, произведенной си стемой над источником работы в этом цикле) : (количе ство теплоты, отданной нагревателем системе в этом цикле) — [(термодинамическая температура нагрева теля) — (термодинамическая температура холодильни ка)] : (термодинамическая температура нагревателя).
• • • • ; ........................................................................ (17)
Этот коэффициент зависит только от температур нагревателя и холодильника, и больше ни от чего!
Принцип эквивалентности устанавливает предель ные значения коэффициента полезного действия. Верх ний предел — единица, нижний — нуль. Для достиже ния верхнего предела все количество теплоты, отданной нагревателем системе, должно полностью перейти в работу, без «падения» части теплоты в холодильник. По уравнению (17) это возможно в двух случаях: когда тем пература нагревателя равна бесконечности; когда тем пература холодильника равна абсолютному нулю. Оба случая нельзя осуществить. (О недостижимости абсолютного нуля температуры см. в главе VIII.) Верх ний предел коэффициента полезного действия недости жим.
Важность уравнения (17) для теплотехники нельзя переоценить. Из-за него в наше время уходят с желез ных дорог на слом паровозы. Воду в котле паровоза нельзя нагреть до достаточно высокой температуры, и от сжигаемого топлива нельзя получить много работы. Паровозы невыгодны. В двигателях внутреннего сгора ния температура в цилиндрах гораздо выше, и эти дви гатели более экономичны.
Зная уравнение (17), теплотехники строят котлы на электростанциях с максимально возможным высо ким давлением водяного пара. Само по себе высокое давление, как показывает то же уравнение (17), совер
104
шенно не нужно. Нужна только высокая температура. Но упругость водяного пара быстро растет с повышени ем температуры.
Теперь о нижнем пределе коэффициента полезного действия. В квазистатическом цикле Карно этот коэф фициент тем ближе к нулю, чем меньше разность тер
модинамических температур нагревателя и холодиль ника.
Небольшая разность температур не -годится для тепловых циклов: цель их — получить работу. Но небольшая разность температур выгодна в холодиль ном цикле: при затрате малого количества работы можно «поднять» большое количество теплоты от хо лодильника к нагревателю.
Квазистатические циклы Карно с небольшой разно стью температур нагревателя и холодильника очень
удобны для разбора многочисленных термодинамиче ских задач.
В чем удобство? В уравнение (17) входят две тем пературы: нагревателя и холодильника. При неболь шой разности температур можно уже не отличать одну температуру от другой. Перепишем для этого случая уравнение (17):
(коэффициент полезного действия квазистатического цикла Карно, протекающего между двумя близкими температурами) = (малое количество работы в этом цикле, совершенной системой над источником работы) : (количество теплоты, отданной нагревателем системе в этом цикле) = (малая разность термодинамических тем ператур нагревателя и холодильника) : (термодинами ческая температура, безразлично — нагревателя или холодильника)............................................................... (18)
Для знающих дифференциальное исчисление урав нение (18) можно было бы написать вполне точно. Но цель книги — научить читателей, как рассуждать над термодинамическими задачами, научить логике реше ния этих задач. Освоить ее труднее, чем технику.
105
Уравнение Клапейрона—Клаузиуса, Пусть темпе
ратура нагревателя (холодильника) комнатная и выше. Тогда в уравнении (18) в качестве малой разности тем ператур можно брать 1 °С. (1°Спочти не отличается от 1К по современной термодинамической шкале.) За термо динамическую температуру можно принять среднее от термодинамических температур нагревателя и холо
дильника.
Уравнение (18) тогда позволяет вычислить эту среднюю температуру. В главе I рассмотрен цикл, где рабочим телом была смесь из чистой жидкости и ее насыщенного пара. Первая и третья стадии цикла были изотермами и проводились квазистатически. Но чтобы цикл стал полностью квазистатическим циклом Карно, надо вторую и четвертую стадии провести адиабатиче ски и квазистатически. Выражение для суммарной работы в квазистатическом цикле Карно совпадает, однако, с уже полученным выражением, уравнение (7). Доля работы на двух адиабатических стадиях мала по сравнению с суммарной работой двух изотермических
стадий.
Первая доля тем меньше, чем меньше разность температур нагревателя и холодильника. Теплота, пере
данная нагревателем системе в рассмотренном цикле, равна скрытой теплоте испарения жидкости в ее насы щенный пар. Тогда коэффициент полезного действия цикла равен:
(коэффициент полезного действия квазистатического цикла Карно при разности температур нагревателя и
холодильника в 1°С) — (разность давлений насыщен ного пара жидкости, соответствующих разности темпе ратур нагревателя и холодильника в 1°С) X (изменение общего объема системы при испарении) : (скрытая теп лота испарения жидкости) = (разность температур на гревателя и холодильника в 1° С) : (средняя термодина мическая температура нагревателя и холодильника).
...................................................................................(19)
106
Уравнение (19) называется уравнением Клапейро на—Клаузиуса. Э. Клапейрон (1799—1864) вывел уравнение (1843) на основе первоначальной (частич но ошибочной) теории Карно. Клаузиус устранил ошиб ку в теории Карно и повторил вывод (1850). Уравне ние Клапейрона—Клаузиуса — полезнейшее уравне ние термодинамики. Применяя его, надо понимать сле дующее. Температуры нагревателя и холодильника близки друг к другу. Поэтому (почти) безразлично, для какой температуры, нагревателя или холодильника, находить изменение общего объема системы при испа рении и скрытую теплоту испарения жидкости. Уравне ние (19) — приближенная, но достаточно точная запись уравнения Клапейрона—Клаузиуса. Для уменьшения ошибки можно относить изменение общего объема при испарении и скрытую теплоту испарения к средней тем пературе нагревателя и холодильника. Изменение общего объема системы и скрытая теплота испарения входят в уравнение (19) в виде дроби. Поэтому безраз лично, к какому количеству испарившегося вещества относить обе эти величины, лишь бы к одному и тому же количеству.
В справочниках имеются данные: о давлении насы щенного пара жидкости при различных температурах; об объемах жидкости и ее насыщенного пара при раз личных температурах (по этим данным и вычисляют изменение общего объема при испарении); о скрытых теплотах испарения при различных температурах. По всем этим данным по уравнению (19) можно вычислить термодинамическую температуру системы (при точно сти расчетов — среднюю термодинамическую темпера туру нагревателя и холодильника). При постоянной средней температуре нагревателя и холодильника, определяемой их физическими состояниями, незави симо от природы жидкости, всегда будет получаться одно и то же значение (средней) термодинамической температуры. Экспериментальные данные убедительно
107
подтверждают постулаты Карно—Томсона и Клаузиу са. При вычислениях надо помнить: количество работы и количество теплоты измеряются одной и той же еди ницей!
Возможности предвидения. Давление насыщенного пара чистой жидкости зависит от температуры. Впер вые это было выявлено более чем за сто лет до вывода уравнения Клапейрона—Клаузиуса, на примере темпе ратуры кипения воды — температуры второй постоян ной точки. Температура кипения заметно зависит от барометрического давления. В случае же первой темпе ратурной точки не удавалось обнаружить (при точности тогдашних измерений), изменяется ли температура плавления льда при колебаниях барометрического дав
ления.
Но после открытия принципа Карно стало ясно, что температура плавления должна зависеть от давле
ния, при котором находится смесь воды и льда. Иначе принцип будет нарушен.
Поместим смесь воды и льда в цилиндр, герметиче ски закрытый подвижным поршнем. Цилиндр имеет тепловой контакт с источником теплоты; температура его 0° С. Смесь воды и льда находится в состоянии не заторможенного внутреннего термического равнове сия (при (ГС) и в состоянии внешнего термического рав новесия. Насыплем на поверхность поршня песок (источник работы) в таком количестве, чтобы со здать внешнее давление больше 1 атм. Смесь находится в состоянии незаторможенного внутреннего механиче ского равновесия и в состоянии внешнего механиче ского равновесия.
Предположим: температура плавления льда (замер зания воды) не зависит от давления, под которым нахо дится смесь. Пусть смесь передает источнику теплоты при 0°С некоторое количество теплоты. Количество воды, пропорциональное переданному количеству те
108
плоты, превратится в лед. Плотность льда меньше плот ности воды. Общий объем системы увеличится, и она совершит работу, поднимет песок. Уберем теперь с внешней поверхности поршня песок, оставляя его на достигнутой высоте. Работу на горизонтальное переме щение песка тратить не надо. После удаления песка давление на внешней поверхности поршня станет рав ным 1 атм. При этом давлении и температуре О°С система получит от источника теплоты такое количество тепло ты, какое нужно для расплавления льда, образовавше гося при подъеме поршня. Он тогда опустится до своего первоначального уровня. Процесс можно повторить сколько угодно раз, насыпая на поршень песок для создания более высокого давления. Изотермический двигатель возможен? К кажущемуся его созданию при вело предположение, что температура плавления льда (замерзания воды) не зависит от давления, под которым находится смесь воды и льда. Смесь в тепловом цикле получает теплоту при плавлении льда и отдает ее при замерзании воды. Температура плавления льда должна быть температурой нагревателя, температура замерза ния воды — температурой холодильника. Вода в цикле замерзает при более высоком давлении, чем то, под которым плавится лед.
Значит, температура замерзания воды (температура плавления льда) понижается при повышении давления.
К расиво!
В. Томсон экспериментально нашел (1849), что темпёрйура плавления льда понижается при повышении _давдения. Предсказал же это явление, до опытов, его брат — Дж. Томсон (1848).
Смесь воды и льда можно использовать как рабочее вещество машины. Для коэффициента полезного дей ствия квазистатического цикла Карно получили бы при небольшой разности температур нагревателя и холо дильника уравнение Клапейрона—Клаузиуса (19). Разности давлений насыщенного пара, соответствую
109
щей разности температур в 1 ° С, будет отвечать раз ность давлений, вызывающая изменение температуры плавления льда на 1 ° С. (Для воды эта разность давле ний равна 130 атм.)
Изменению общего объема системы при испарении соответствует изменение общего объема системы при плавлении; скрытой теплоте испарения — скрытая теплота плавления. Чем же собственно различаются два
эти цикла?
Когда жидкость испаряется при подводе к систе
ме скрытой теплоты испарения, общий объем систе мы возрастает. Плотность насыщенного пара меньше
плотности жидкости. Когда лед плавится при подво де к системе скрытой теплоты плавления, общий объем системы уменьшается. Плотность воды больше плотности льда. Из-за этого различия с увеличением давления возрастает температура смеси из воды и ее насыщенного пара, но понижается температура смеси из воды и льда.
Вода — исключительное вещество. Большинство жидкостей замерзает с уменьшением объема. У них
температура плавления (замерзания) повышается с повышением давления.
Опыт подтвердил и этот вывод.
Уравнение Клапейрона—Клаузиуса можно напи сать не только для двух обсужденных случаев: испаре ния и замерзания жидкости. Это уравнение всегда спра ведливо, когда рабочее вещество машины — cMecf цз одного и того же чистого вещества, но в двух его различ ных состояниях, в двух различных фазах вещества. Уравнение Клапейрона—Клаузиуса позволяет вычис лять, как изменяется температура смеси при измейении давления на смесь. Уравнение Клапейрона—Клау зиуса применимо, например, к смеси из кристалличе ского йода и его насыщенного пара; к смеси из графита и алмаза — две фазы одного и того же химического элемента — углерода.
но