Файл: Кричевский, И. Р. Термодинамика для многих.pdf

Количества же теплоты, полученной (отданной) холо­ дильником, различны в обоих циклах. Различны и количества работы, совершенной системой над источни­ ком работы (совершенной источником работы над системой) в обоих циклах. Проведем один из циклов как тепловой, другой — как холодильный и подведем итоги.

В одном цикле нагреватель отдал (получил) некото­ рое количество теплоты, в другом — получил (отдал) то же количество теплоты. После окончания обоих циклов, одного теплового и одного холодильного, нагреватель не получил и не отдал теплоты. Но количество теплоты, полученной (отданной) холодильником в одном цикле, не равно количеству теплоты, отданной (полученной) холодильником в другом цикле. Не равны также и количества работы в обоих циклах. Поэтому в итоге проведения одного цикла как теплового, а другого — как холодильного холодильник отдаст (получит) неко­ торое количество теплоты, а система совершит над источником работы (источник работы совершит над системой) равное количество работы. Но итог противо­ речит постулату Карно—Томсона для квазистатического изотермического цикла: суммарное количество рабо­ ты должно быть равно нулю. Значит, произвольно вы­ брать значения двух величин из трех, входящих в урав­ нение (11), нельзя. Значение количества теплоты, от­ данной (полученной) нагревателем, определяет значе­ ния двух других величин.

Доказательство применимо и к случаю, когда коли­ чество теплоты, полученной (отданной) холодильником в одном квазистатическом цикле Карно, равно количе­ ству теплоты, полученной (отданной) в другом квази­ статическом цикле Карно. Значения же двух других величин в обоих циклах, по предположению, различны. Ошибочность предположения снова скажется в том, что итог обоих циклов, одного теплового и другого холо­ дильного, нарушает постулат Карно—Томсона.

95

Допустим теперь, что количества работы, совершен­ ной системой над источником работы (совершенной источником работы над системой), одинаковы в обоих циклах. Количества же теплоты, отданной (полученной) нагревателем, и количества теплоты, полученной (от­ данной) холодильником, различны в обоих циклах. Проведем один из циклов Карно как тепловой, дру­ гой — как холодильный. В одном цикле система совер­ шила работу над источником работы, в другом цикле источник работы совершил то же количество работы над системой.

После окончания обоих циклов, одного теплового и одного холодильного, суммарное количество работы равно нулю. Но количество теплоты, отданной нагре­ вателем в одном цикле, не равно количеству тепло­ ты, полученной нагревателем в другом цикле. Коли­ чество теплоты, полученной холодильником в одном цикле, также не равно количеству теплоты, отдан­ ной холодильником в другом цикле. В итоге обоих циклов, одного теплового, другого холодильного, нагре­ ватель отдал (получил) некоторое количество теплоты, а холодильник получил (отдал) равное количество теплоты.

Но итог противоречит постулату Клаузиуса: ес­ ли в квазистатическом цикле Карно количество ра­ боты равно нулю, то и каждое из двух количеств теплоты в отдельности равно нулю.

Все возможные ошибочные предположения исчер­ паны. В квазистатическом цикле Карно при неизмен­ ных температурах нагревателя и холодильника можно по своему произволу выбрать значение только одной из этих трех величин, безразлично какой. Значения двух других величин уже будут заданы выбранным значе­

нием одной величины да температурами нагревателя и холодильника.

Проведем теперь между двумя неизменными темпе­ ратурами некоторое число (п) одинаковых квазистати-

96

ческих циклов Карно. Все в одном направлении. Подве­ дем итоги. Количество теплоты, которую отдал (полу­ чил) нагреватель, будет в п раз больше количества теплоты, которую отдал (получил) нагреватель в отдельном цикле. То же самое будет справедливо для второго количества теплоты и для количества работы. Перескажем результат: в квазистатическом цикле Карно отношение любых двух величин не зависит от значения одной из этих величин, а зависит только от температур нагревателя и холодильника. Какой важ­ ный вывод!

Термодинамическая шкала температур. Рассмотрим два отношения (второе — в следующем параграфе). Разделим численное значение количества теплоты, которой нагреватель обменялся с системой (без учета, кТо получил, кто отдал теплоту), на численное значение количества теплоты, которой холодильник обменялся с системой (снова не учитываем направления обмена). Цикл Карно квазистатический. Полученное отноше­ ние — отвлеченное число, без размерности. Оно вполне определено, если физически, состояниями нагревателя и холодильника, определены обе температуры. Отноше­ ние двух количеств теплоты в квазистатическом цикле

Карно не может зависеть от того, каким термометром, по какой температурной шкале измеряют температуру.

Итак:

(численное значение количества теплоты, которой нагреватель обменялся с системой в квазистатическом цикле Карно) : (численное значение количества тепло­ ты, которой холодильник обменялся с системой в этом же цикле) = (отвлеченное число, значение которого определяется только температурами нагревателя и

Без термометра, без температурной шкалы можно выявить форму зависимости этого отвлеченного числа от обеих температур. Необходимо только уметь отли­

97

чать более высокую температуру от более низкой. Для этого достаточно термоскопа. Зная постулат Клаузиуса, скажем: система, которая отдает теплоту при непосред­ ственном контакте двух систем, имеет более высокую температуру (точнее: эту температуру назвали более высокой); система, которая получает теплоту, имеет более низкую температуру (точнее: эту температуру назвали более низкой). Беда смешивать физику с тер­ минологией! При непосредственном контакте двух систем с различными температурами одна система отда­ ет, другая получает теплоту. Это — физика. Она по­ зволяет расположить температуры систем в одно­ значный ряд. Но «высокая» температура, «низкая» тем­ пература, теплота «падает» — это терминология. Менять ее (но не физику!) в нашей власти. Можно вместо «высокая» температура говорить «яркая» темпе­ ратура, вместо «низкая» температура — «тусклая» тем­ пература, вместо теплота «падает» — теплота «линя­ ет». Сравнил бы Карно тепловую машину с водяной мельницей, будь распространена подобная терминоло­ гия? Но вернемся к циклам Карно.

В нашем распоряжении три источника теплоты с различными температурами. Назовем их в порядке передачи теплоты высокой, средней и низкой. Проведем квазистатический цикл Карно с участием источников теплоты с высокой и низкой температурами. Источник теплоты с низкой температурой получает выбранное нами количество теплоты. По уравнению (13), это коли­ чество теплоты вместе с температурами нагревателя и холодильника определит количество теплоты, которую отдает нагреватель. Проведем второй квазистатический цикл между источниками теплоты с высокой и средней температурами. Нагреватель, т. е. источник теплоты с высокой температурой, отдает то же количество тепло­ ты, что и в первом квазистатическом цикле. Тогда холо­ дильник, т. е. источник теплоты со средней температу­ рой, получит определяемое уравнением (13) количество

98

теплоты. В третьем, последнем квазистатическом цикле Карно участвуют источники теплоты со средней и низ­ кой температурами. В нашей власти провести цикл так, чтобы холодильник, т. е. источник теплоты с низкой температурой, получил то же количество теплоты, что и в цикле высокая температура — низкая температура. Но уже не в нашей власти распорядиться количеством теплоты, которую нагреватель, т. е. источник теплоты со средней температурой, отдает в третьем цикле, цикле средняя температура — низкая температура. Свои права предъявляет уравнение (13). Спросим: будет ли количество теплоты, которую источник теплоты со средней температурой получает в цикле высокая темпе­ ратура — средняя температура, равно количеству теплоты, которую источник теплоты со средней темпе­ ратурой отдает в цикле средняя температура — низкая температура? Не забывать, что, по постановке опытов, в циклах высокая температура— низкая температура, средняя температура — низкая температура источник теплоты с низкой температурой получает одно и то же количество теплоты! Другими словами, спрашивают: зависит ли итог квазистатического цикла Карно от того, провести ли цикл в один прием между температурами высокой и низкой или в два приема, сначала между тем­ пературами высокой и средней, а затем между темпера­ турами средней и низкой? Итог должен быть всегда один и тот же, иначе будет нарушен постулат Карно— Томсона.

Проведем цикл высокая температура — низкая тем­ пература в одном направлении, а два других цикла — в обратном направлении. Пусть итог проведения квази­ статического цикла Карно между двумя крайними тем­ пературами в один прием отличается от итога про­ ведения цикла между этими же температурами, но в два приема, с участием источника теплоты с проме­ жуточной температурой. Тогда только один источник теплоты с промежуточной (средней) температурой

99

получит (отдаст) некоторое количество теплоты. Но постулат Карно—Томсона запрещает подобный ре­ зультат.

Каков же вывод из всех этих несколько длинных, но простых рассуждений? Очень важный вывод таков. Составим отношение между количествами теплоты (без учета направления передачи) в цикле высокая темпера­ тура — средняя температура и подобное же отношение для цикла средняя температура — низкая температура. Разделим первое отношение на второе. Тогда получен­ ное частное должно равняться отношению количеств теплоты в цикле высокая температура — низкая тем­ пература. Воспользуемся уравнением (13) и запишем вывод:

(отвлеченное число, значение которого определяется высокой и низкой температурами) = (отвлеченное чи­ сло, значение которого определяется высокой и средней температурами) : (отвлеченное число, значение кото­

В левой части уравнения (14) нет средней температу­ ры, а в правую часть она входит в делимое и делитель. Если левая часть уравнения не зависит от средней тем­

пературы, то и правая часть также не может зависеть от нее.

При делении делимого на делитель средняя темпера­ тура должна погаситься. Это возможно в единственном случае:

(отвлеченное число, значение которого определяется высокой и средней температурами) = (число, значение которого определяется высокой температурой) : (число, значение которого определяется средней температу­ рой); (отвлеченное число, значение которого определяется

средней и низкой температурами) = (число, значение которого определяется средней температурой) : (число, значение которого определяется низкой температурой).

100

Для левой части уравнения (14) тогда получают:

(отвлеченное число, значение которого определяется высокой и низкой температурами) = (число, значение которого определяется высокой температурой) : (число, значение которого определяется низкой температурой).

Теперь средняя температура не входит ни в левую, ни в правую часть уравнения. Используем новые зна­ ния и перепишем уравнение (13):

(численное значение количества теплоты, которой нагреватель обменялся с системой в квазистатическом цикле Карно) : (численное значение количества тепло­ ты, которой холодильник обменялся с системой в этом же цикле) = (число, значение которого определяется температурой нагревателя) : (число, значение которого определяется температурой холодильника)............. (15)

Важнейший физический результат! Вся теплотехни­ ческая политика определяется им. С ним связано много интереснейших термодинамических следствий, одним из которых сейчас займемся. Отношение двух коли­ честв теплоты в квазистатическом цикле Карно — левая часть уравнения (15) — зависит только от темпе­ ратур нагревателя и холодильника, и больше ни от чего! Температуры же определяются состояниями нагрева­ теля и холодильника. Можно сказать, что это отноше­ ние является абсолютным. По уравнению (15) абсо­ лютна и вся правая часть уравнений (15), вся дробь. В отдельности же числитель и знаменатель дроби ника­ кими абсолютными чертами не обладают. В отрыве от термометра и термометрической шкалы числитель и знаменатель никаких определенных численных значе­ ний не имеют и не могут иметь их. Перечтем, что было написано об отношении давлений гелия при двух темпе­ ратурах в газовом термометре постоянного объема. Зависимость между давлением газа при постоянном объеме и температурой уже давно использовали при построении термометрами создании термометрической шкалы, уравнение (8). Уравнение (15) В. Томсон приме­

101

нил для этих целей в 1848—1854 гг. Сказанное о термо­ метрической шкале газового термометра постоянного объема применимо к термометрической шкале Томсона (Кельвина). Надо только заменить давление на количе­ ство теплоты.

Томсон допустил:

(численное значение количества теплоты, которой нагреватель обменялся с системой в квазистатическом цикле Карно) : (численное значение количества тепло­ ты, которой холодильник обменялся с системой в этом цикле) = (численное значение температуры нагревате­ ля) : (численное значение температуры холодильни­ ка). ..............................................................................(16)

Допущение (16) — основа термодинамической шкалы температур. Второе допущение, вводимое сейчас при построении термодинамической шкалы, отличается от допущения самого Томсона. Сейчас принимают: тер­ модинамическая температура тройной точки воды равна 273,16 К точно. В принципе можно измерить отно­ шение двух количеств теплоты в квазистатическом цикле Карно между любой температурой и температу­ рой тройной точки воды. Тогда по уравнению (16) можно вычислить значение термодинамической температуры для любого состояния системы. Значения термодинами­ ческих температур полностью совпадают со значениями температур, измеряемых гелиевым термометром посто­ янного объема (при малой плотности гелия в термоме­ тре).

Термодинамическую шкалу температур называют и абсолютной шкалой: при любом выборе вещества, что совершает квазистатический цикл Карно, получают одни и те же значения температуры при сохранении в силе двух введенных допущений.

Абсолютный нуль температуры. Из уравнения (15) следует важный вывод о существовании низшего пре­ дела температуры.

102