Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 130
Скачиваний: 0
§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
49 |
а остальные производные равны нулю. В частности, если
£ (*) = V2 II х |2 = V2 (х |х),
то |
е"(х) = 1, е ' " ( х ) = . . . = 0 . |
е'(х) — х, |
|
Отметим следующее соотношение для квадратичных |
|
форм: |
х) = Q {х0) - f Q' (х0) х + Q(x). |
Q (*о + |
|
П р и м е р 3. Н о р м а в г и л ь б е р т о в о м п р о с т р а н с т в е . Функция
/ (*)=||*||
дифференцируема по Фреше в любой точке х, отличной от нуля, а ее производная равна
Г(х) = \\x\fl x.
Это сразу следует из формулы дифференцируемости сложной функции, если учесть, что
f = g ° h,
где h (х) = (х\х), a g(t) = Vt.
Переходим к получению формул для производных конкретных функционалов и отображений, которые по надобятся нам при выводе необходимых условий экс тремума в вариационном исчислении и теории опти мального управления.
П р и м е р 4. Пусть отображение h: Rn -> R m:
h(x) = (hi (x), . . . . hm(x))
определено и непрерывно дифференцируемо в окрест ности U точки х0е Rn. Рассмотрим отображение
|
Ях(*(•)): C"([<0, f 1] ) - * R “ i |
|
|
||
определенное соотношением |
|
|
|
||
|
|
Hx(x(-)) = h(x( т)), |
|
|
|
где |
т — некоторая |
фиксированная точка |
отрезка |
[f0, ?i]. |
|
Это |
отображение |
определено |
на множёстве |
таких |
|
х ( - ) е Cn{[t0, ^i]), |
что x(x)^.U. |
Покажем, |
что если при, |
||
БО |
О. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ |
этом |
xq(x) = xq, т о отображение Нх дифференцируемо |
по Фреше в точке v0(-), и вычислим его производную. Имеем
h (v0 + x) = h (хи) + (/г' (х0) |*) + о(| v |).
Поэтому
Нх(хо( •) + х( ■)) = h (х0(т)) + (h'(x0(т)) |*(т)) + о(| v ( t ) |).
Но I х (т) К |х (•) ||. Следовательно,
Нх (*0 (•) + * ( ' ) ) =
= ^х(^о(-)) + (/г'(^0(т)) ]лг (т)) + о ()| х (•) ID-
Это значит, что отображение Нх дифференцируемо по Фреше в точке Vo(-) и его производная равна
H'x {x0( - ) ) x ( - ) |
= |
(h' (.Vo (т)) |v (т)), |
|
или в координатной форме |
|
|
|
(Hx( x o ( - ) x ( - ) ) i ==^J ----- . |
’ |
х1(т), |
г = 1 , . . . . т. |
i=1 |
|
|
|
П р и м е р 5. Пусть g t (t, х), . . . , |
gm(t, х) — действи |
||
тельные функции, определенные, непрерывные и не прерывно дифференцируемые по х в открытом множе стве U с= R X R". Положим
g(t, x) = (gi(t, х), . . . . gm(t,x)).
Предположим, что график непрерывной вектор-функ ции x0(i): [^о, ^i] —^ Rn принадлежит области U, и рас смотрим отображение
G: Cn([ M .]) - > C mWo,*.]),
определенное соотношением
[<?(*( •))](<) = £(*.*(*)).
Покажем, что это отображение дифференцируемо по Фреше в точке v0(-)> и вычислим его производную.
Для этого мы воспользуемся следствием из теоремы о среднем. Проверим, что отображение G дифференци
руемо по Гато в некоторой окрестности точки |
v0(-) и |
его производная Гато непрерывна. Поскольку |
множе |
§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
51 |
ство U открыто, |
мы можем указать такое е > 0, |
что из |
||||
|л:0(^) —.л:| < |
е |
следует, |
что |
( t , x ) ^ U . |
Если же |
|
1 И - ) — *о(-)11с < |
8, ТО |
|
|
|
|
|
Пт [ Q(*(-) + te( - )) - 0(*(;))l {t) = gx {t> |
х {t}) г {t)> |
|||||
Я-»0 L |
|
A |
|
J |
|
|
Непрерывность |
отображения |
х (•) —>•G'r (х ( •)) |
сразу |
|||
следует из |
непрерывности |
отображения (t, x ) - * g x(t, x )t |
||||
Итак, отображение G дифференцируемо по Фреше и
[G' (дг0(■))«(•)] (0 = ёх V, ха (t)) z (t).
П р и м е р 6. Пусть ф! (t,x,u), . . . , ym(t, х, и)— дей ствительные функции, определенные, непрерывные и не прерывно дифференцируемые по х и и в некоторой об ласти V пространства R X R" X RrПоложим
|
ф (t, X, |
U) = |
(ф! (t, х, |
и).........фт (/, .V, и)). |
||
Предположим, |
что |
вектор-функции xq( •) е C"([YoXi]) и |
||||
и0 {•) е |
СГ( [f0, ^i]) |
таковы, |
что |
(t, xQ(/), иа (t)) е V при |
||
всех t е |
[/0, fj. |
Рассмотрим |
отображение |
|
||
|
Ф: Cl ( ft,, #,]) X Сг ( [/0, |
Ст( [#о, *,]), |
||||
[Ф (х( •), и( |
■))](/) =ф(*> |
x(t), |
и (0), |
*0< * < * i - |
||
Дословное повторение рассуждений из предыдущего примера позволяет доказать, что отображение Ф диф ференцируемо по Фреше в точке (хо(-), по(-)) и
[Ф '(*<>(■), « о ( - ) ) ( г ( - ) , ®( - ) ) 1 ( 0 =
= |
ф х |
(t, Х0 (/), |
и0(/)) 2 (t) + ф ц (t, Х0 (/), «о (0) W (/). |
П р и м е р |
7. |
Пусть |
m(t ,x ,y ) — отображение в Rm, |
определенное, непрерывное и непрерывно дифференци руемое по х и у в некоторой области W с : R X Rn X X Rn. Предположим, что непрерывно дифференцируе
мая на |
[^oXi] |
вектор-функция x0(t) такова, что |
(t,x0(t), |
x0( t ) ) ^ W при всех / е [/о, ti]. Рассмотрим ото |
|
бражение |
|
|
|
М: |
С? (ff0, #!])-► С* ([&,/,]), |
52 |
0. ВВЕДЕНИЕ. |
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ |
определенное соотношением |
||
|
[М (х (•))] (/) = |
/и (t, х (/), х (/)), / „ < / < # ! . |
Отображение М есть, как легко видеть, суперпозиция двух отображений:
М — М2° Ми |
|
|
где Mi— линейное отображение из С" в Сп\ С п: |
|
|
[Mi(x(-))](t) = (x(t),x(t)), |
t0< t ^ t u |
|
а отображение М2: Сп X C n-> C m определяется так: |
ь |
|
[М2 (х (•), у (•))] (0 = т (/, x(t), |
у (0), to < t < |
<i. |
Из предыдущего примера и из теоремы о производной суперпозиции отображений следует, что отображение М дифференцируемо по Фреше в точке Хо(-) и
[ЛГ(*о( •))*(■ ) К 0 =
= тх (t, х0 (i), х0 (t)) z (t) + rtiy (t, х0(t), xQ(/)) г (t).
П р и м е р 8. Пусть в условиях предыдущего при мера т (/, х, у) = L (t, х, у) — действительная функция. Рассмотрим функционал
3 (*(■)) = Jб L(t, х (0, х (/)) dt.
Этот функционал есть суперпозиция двух отображений
3 = 3 2° З и
где
Уг. C?([to,ti])->C([to,ti]),
[ З х(х ( •))] (/) = L(t, х (t), х (/)), |
t0< t < tu |
a |
|
3 2(a ( •)) = J a (0 dt. |
|
to |
|
Отображение 3 \ есть частный случай отображений, рассмотренных в предыдущем примере, а функционал 3 2 линеен и непрерывен. Сопоставив результаты при