Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

39

и для всякого Л е S (X,

У)

\\F{x + h) — F ( x ) — Ah\\^

sup

IIF' (х + th) — ЛII •|h ||.

о

< t< 11 А

«

В частности, для всякой

точки z е [л:, х + h]

lF(x + h ) - F { x ) - F ' v ( z ) h l ^

<

sup \F'{x +

th )~ F 'v {z)\-\\hl

о

< 11

1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

ф(t) — F (

х th),

По определению производной Гато

dtp (t)

F'v {х + th) h

dt

| F'v {x ^ th )h d t < sup F'r (х + th)

■II ЛII.

о<г<1

размерности, большей единицы, уже не верна.

С л е д с т в и е .

Пусть

X — банахово

пространство и

F — непрерывное

отображение

окрестности U

точки

г 0е Х

в банахово пространство

У. Предположим, что

отображение F дифференцируемо по Гато в каждой

точке множества

U и при этом отображение x - * F г(х )

из U

в S ’ (X, У)

(рассматриваемое с равномерной опе­

раторной топологией) непрерывно. Тогда F дифферен­

цируемо на U по Фреше и для всех х е

U

F'r (x ) = F'f (х ).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По теореме

о среднем

зна*

чении

40

0.

ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Поскольку

отображение x-+F 'T(х) непрерывно, для

из предложения

1.

С последним утверждением близко связан следую*

щий известный результат.

Х и Х2,

Y — банаховы

Т е о р е м а

Ш в а р ц а. Яусть

пространства

и

F — отображение открытого множества

U cz Х хX Х2 в Y. Предположим,

что F дифференцируемо

по обеим координатам в множестве U и что отобра­

жения

{х\, х2) -> FXl (хи х2),

{хи х2) -> FXl(xi, х2)

множества U

в 3 ( Х и У) и S ’ (Х2, Y) соответственно не­

прерывны. Тогда F непрерывно дифференцируемо по

Фреше на U.

о

н е я в н о й

ф у н к ц и и .

Т е о р е м а

Пусть

X, Y,

Z — банаховы

пространства,

U — окрестность

точки

(х0,уо) в декартовом произведении Х Х У

и F: U —* Z —

F(xo,yo) — 0

и

частная производная

Fy(x0, y 0): Y-+Z

есть

линейный

гомеоморфизм.

Тогда

найдутся

числа

е > 0, 6 > 0

и отображение х - * у ( х )

шара

U(x0,8)cr.X

в шар U (у0, е) с:

Y такие, что

а)

на множестве

U(x0, б) X

У(Уо, е)

соотношения

F(x,y) — 0 и у — у(х)

равносильны;

Ct и

б) у(х)

есть

отображение класса

для

всякого

J t e ( / (дг0, б)

ство банахова пространства X. Вектор х ^ Х

называют

касательным к множеству М в точке Хо е М,

если суще­

§ 0.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

41

ствуют

е > 0

и отображение / —>/•(/)

отрезка [0, е]

в X

такие,

что

х:0- f fe

+ r ( ( ) e M

при всех

^ е [0 , е],

|г (t) ||//->0

при /-> 0 .

Т е о р е м а Л ю с т е р н и к а .

Пусть X и

Y — бана­

ховы пространства, U — окрестность точки х0^ Х и F —

дифференцируемое по Фреше отображение

множества

U в Y. Предположим, что отображение F регулярно в

точке х0, т. е.

Y,

Im F' (х0) =

при всех | е

IU(|) I K W

( i ) - / r(*0)ll

U'.

теорему Люстерника, от­

Прежде

чем доказывать