Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

меров 1 и 7, приходим к следующей формуле для про­ изводной Фреше отображения

функция x(t) измерима и принимает значения в U.) Предположим далее, что определенная и непрерывная на [t0,ti] вектор-функция x0{t) принимает значения в U при всех /<=(Уо, U], вектор-функция x0(t) ) сум­ мируема и существуют такие е > 0 и суммируемая дей­

В силу теоремы Лебега об ограниченной сходимости предел левой части последнего соотношения при X —►О существует и равен

фX(t,x(t))z(t), * „< * < * ,.

и отображения F2: Wl,i ([4, fi])-*L "([fo, /i]),

[р2{х{ •))] (0 = Ф (*, x{t)).

Как мы показали, второе отображение дифференцируе­ мо по Фреше, если его рассматривать как отображение

Рассмотрим здесь лишь несколько самых простых при­ меров регулярных отображений.

П р и м е р 12. Пусть X — банахово пространство и f — функция на X, дифференцируемая по Фреше. Тогда f регулярна в любой нестационарной точке х.

Действительно, если }, (х0)ФО, то найдется такой элемент х ^ X, что

а = </'(*о), х) ф 0.

Это значит, что множество чисел

ta = ( f (х0), tx)

совпадает со всей вещественной прямой R, т. е. f регу­ лярна в точке х0.

Пр и м е р 13. Пусть отображение F: X —►R” , F(х) —

—(filx ), ■••> fn{x)) дифференцируемо по Фреше в точ­

достаточность. По лемме о биортогональном базисе найдем элементы X i^ X , i == 1.........п, такие, что

(// (хо), х{) — 6е/.

отображение дифференцируемо по Фреше в точке х0(-), то оно регулярно в этой точке в том и только том слу­

§0.3. Выпуклый анализ

Вэтом параграфе рассказывается о простейших фак­ тах выпуклого анализа, используемых в гл. 1. Более

кально выпуклое линейное топологическое пространство.

Подмножество А пространства X называется выпуклым, если оно вместе с каждой парой своих точек содержит соединяющий их отрезок. Пустое множество считается выпуклым по определению.

П р и м е р ы выпуклых множеств: подпространства и линейные многообразия, треугольники и круги на пло­ скости, тетраэдры и шары в трехмерном пространстве, единичный шар в банаховом пространстве и т. п. Мно­

отрицательный ортант.

R+ = {х = (х\ . . . , хп)\х1^ 0 , г = 1 , . . . , я}.

Напомним, что функциями мы называем отображе­ ния в расширенную вещественную прямую. С каждой функцией /, заданной на X, можно связать два мно­ жества

dom / = {х <= X \/ (х) < оо),

epi/ = {(а, х) ед R X X |а> /( * ) } .

Первое из них называется эффективным множеством функции /, а второе — ее надграфиком. Функция / на­

индикаторная функция выпуклого множества А сг X

0, если х е А,

6 (х |Л) =

+ оо, если х ф. А;

опорная функция множества A cr X*

s (х |А) = sup (х*, х).

х* е А

Заметим, что норма в банаховом пространстве есть опорная функция единичного шара сопряженного про­ странства (это вытекает из определения нормы в со­ пряженном пространстве и следствия 3 из теоремы Ха­ на — Банаха).

0.3.2. Субдифференциал. Пусть / — выпуклая соб­ ственная функция на X. Функционал х* е X* называется субградиентом функции / в точке х, если

/ (г) — / (х )^ (х *, z — х) для всех г е !