Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 159

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВЫВОДЫ

Ш

x ( t ) ^ L 0, функция, определяемая соотношением

(2),

должна иметь минимум в точке нуль. В итоге мы при­ ходим к такому необходимому условию экстремума:

Ф'(0) = 6 ^ (х .( •)>*(• )) = <>, V * ( . ) e = I 0.

(3)

Первый этап вывода закончен.

Второй этап состоит в преобразовании выражения для первой вариации на пространстве L0 посредством интегрирования по частям. Делают это двумя путями:

следуя Лагранжу, когда интегрируют по

частям вто­

рое слагаемое, и — Дюбуа-Раймону, когда

интегрируют

первое. Преобразование по Лагранжу предполагает дополнительное условие гладкости, а именно, допуще­ ние, что функция р (t) = Lx | (<) является непрерывно

дифференцируемой. При этом дополнительном предпо­ ложении проинтегрируем по частям второе слагаемое в

выражении для первой

вариации

при условии, что

x ( - ) e L o - Мы получаем:

 

 

 

 

 

 

 

И)

где

 

 

 

 

я (0 =

? ( 0 - р (0 =

( - - ^ Д *

+

Дс)|л (<).

Приведем

теперь преобразование

первой вариации

по Дюбуа-Раймону. Для этого проинтегрируем по ча­ стям первое слагаемое на пространстве Lq.

и получим, что выражение для первой вариации имеет такой вид:

t

(5 )

112

ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

где

ч

м

ь (0 = J q (т) dx + р (t) = J Lx \х (т)dx + L* L VY

Переходим к третьему этапу вывода уравнения Эйлера.

Л е м м а Л а г р а н ж а . Пусть функция a(t) непре­ рывна на отрезке [to, t\\. Предположим, что для любой непрерывно дифференцируемой функции x(t), обра­ щающейся в нуль на концах отрезка {to, ti], выполнено равенство

| a(t)x(t)dt = 0.

и

Тогда a(t) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу непрерывности функ­ ции a(t) достаточно проверить, что a ( t ) = 0 во внутрен­ них точках отрезка [4, Д|. Предположим, что в некото­

рой внутренней точке отрезка т значение а(т) ^=0.

Без

ограничения общности можно

считать,

что

а(г) > 0.

 

 

Выберем

е >

0

столь

ма­

|/ I

----- 1-

лым, чтобы, с

одной

сто­

роны,

отрезок

До = [т — е,

T-S

T+S

т +

е]

целиком

лежал

бы

 

Рис. 2.

внутри

 

отрезка

[to, til

а с

этом отрезке функция a(t)

другой стороны, чтобы на

была бы

больше

некоторого

положительного числа а. Возьмем теперь любую неот­ рицательную, но не тождественно равную нулю финит­

ную функцию из

СДДоД!]) с носителем в Д0.

Например,

в качестве такой

функции можно взять (рис.

2)

х (t) = х (г, т, е ):

, (t — х + е)2 (t — х — е)2>

t е Ао>

0

t ф Д0

 

 

Применив теорему о среднем из интегрального исчисле ния, получим:

Ц

 

 

J a(t)x (t) d t =

^ a [t) х (t) dt ^

a | x (t) dt > 0.

fn

Ao

Ao

Мы пришли к противоречию. Лемма доказана.

§ 2.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ

ВЫВОДЫ

 

 

113

Завершим вывод

уравнения

Эйлера

по Лагранжу.

На первом этапе было установлено,

что

если

x*(t)

—■

решение задачи (1), то выполнено

равенство

(3).

На

втором этапе было

показано,

что на подпространстве

Lo первая вариация

(правда,

при дополнительном пред­

положении) представима в виде (4). Сопоставив эти два факта с леммой Лагранжа, приходим к выводу, что

если

x*(t) есть решение задачи

(1),

то

необходимо

должно выполняться соотношение

 

 

 

[- 5

r L* + L'

— -jT Lx (t, X. (t), xt (0)

+

X*«)

 

 

xt (t)) = 0,

 

 

+

Lx {t,

называемое уравнением Эйлера задачи

(1)

в форме Ла­

гранжа.

Отметим, что при выводе использовались вариации

x(t, К) — х * (/)+ Kx(t, т, е) экстремали **(/) по

направ­

лению x(t, т, е), изображенному на рис. 2.

 

Для того чтобы вывести то же самое уравнение по

Дюбуа-Раймону докажем следующую лемму.

 

Л е м м а Д ю б у а - Р а й мо и а.

Пусть

функция

b(t) непрерывна на отрезке [U,ti\-

Предположим, что

для любой непрерывной функции v(t), в среднем рав­ ной нулю, выполнено равенство

 

f.

 

 

 

|

b(t)v(t)dt = 0.

 

 

Ц

 

 

 

Тогда b ( t ) =

b0 =

const.

называется

в среднем

Напомним, что функция v(t)

равной нулю, если

 

 

 

 

 

Ц

 

 

 

 

С о (t) dt =

0.

 

 

 

*0

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что

заключение

леммы неверно.

Тогда должны

найтись две

точки ti и

%2, лежащие внутри отрезка [f0, fi], для которых Ь(х\)ф ф Ь ( тг), скажем, < т2 и & ( t i ) > 6 ( t 2 ) . Выберем

1 1 4 Г Л . г. Н Е О Б Х О Д И М Ы Е У С Л О В И Я

е > 0 столь малым, чтобы интервалы

Ai = [xi — е, г, + е]

и

А2 = [т2 — е, т2Г+ е]

не пересекались друг с другом, лежали внутри отрезка

[t0, / 1] и при этом

выполнялось неравенство:

Р,

= min b (t) > max b (t) — р2.

 

«<=Д,

(ед,

Очевидно, что этого можно добиться. Рассмотрим те­

перь любую

непрерывную функцию v(t), которая вне

Ai U Д2 равна

нулю, на Д1 неотрицательна и не тожде­

ственно равна нулю, а на Дг принимает противополож­ ные значения. В качестве примера нужной функции можно взять

v(t) =

v (t, Tlt т2, е) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

 

(* — т , +

е ^ - ^ +

т. +

е)2,

# е

Д„

 

 

 

= |

— (t — х2 +

е)2 (— t +

т2 +

е)2,

t е

Д2>

 

 

 

'

о

,

 

[to, *i] \

(Ai U Да).

Снова по теореме о среднем получим

 

 

 

 

J

f1

 

 

 

 

Ib(t)v(t)dt>

 

 

 

b(t)v(t)dt= J b{t)v(t)dt +

 

 

 

К

 

Д|

 

 

>(P i

—

Ра) Jv (t)d t> 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д|

 

 

Противоречие с условием доказывает лемму.

 

 

 

Сопоставив соотношения (3) и (5) с леммой Дюбуа-

Раймона, получаем,

что если x*(t) является решением

задачи

(1), то необходимо должно выполняться соотно­

шение

 

J<i q(x)dx +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ( t ) ^ c 0,

 

 

 

 

или,

подробнее,

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

Lx (т, x, (т), х, (т)) dx +

Li (t, xt (0, К (t)) =

c0.

 

t

Смотрите также файлы