Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 0
§ 2.1. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ |
105 |
Простейшей векторной задачей называется задача следующего вида:
^ (*(•))= J |
x{t)) inf; |
и |
( 12) |
(x(t0), г У |
е Г. |
В (12) отрезок [to, U] предполагается фиксированным, функция L — определенной и непрерывно дифференци руемой в некоторой области пространства R X R” X R". множество Г, задающее граничные условия, — произ вольным подмножеством пространства Rn X R"- Если п = 1, то задачу (12) называем коротко простейшей за дачей.
Буква L для обозначения интегранта простейшей векторной за дачи выбрана в честь Лагранжа. При этом производится неявная апелляция к языку и символике классической механики. В осно вании классической механики лежит принцип наименьшего действия (или как иногда его называют — принцип стационарного дей ствия— что более точно). Согласно этому принципу траектории движения системы частиц в силовом поле U являются стационар ными точками функционала действия
Под знаком интеграла стоит лагранжиан системы, являющийся раз ностью кинетической и потенциальной энергии:
L — T — U.
В силу сказанного, интегрант L иногда называют лагранжианом, даже если задача взята не из классической механики.
п
Выражения pi — Li , Н = '^i pixl — L называются в механике
1 £=1
импульсами и энергией системы. В дальнейшем мы иногда будем употреблять эти термины, навеянные классической механикой.
Задачей Лагранжа с ограничениями в разрешенной форме и фазовыми ограничениями типа равенств и
106 |
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
|
|
||
неравенств называют следующую проблему: |
|
||||
У ( х { ■), «(• )) = J f(t,x(t),u(t))dt ->M\ |
(13) |
||||
|
|
tti |
|
|
(14) |
|
x = |
q>(t, х, и), |
|
||
|
gi (t, x (t)) = |
0, |
g2(t, x {()) < 0 , |
(15) |
|
|
h0(*o> x (to)) = |
0, |
ft, (tu x (t{)) = |
0, |
(16) |
|
|
м е 1 /. |
|
(17) |
|
Здесь |
интегральный |
функционал не |
зависит |
от х. |
|
Ограничения разделены |
на разрешенные — (14) и фазо |
||||
вые— (15). Граничные условия описываются соотноше ниями (16). (Так можно задать не все встречающиеся в приложениях граничные условия. Скажем, периодиче ские услозия таким путем описать нельзя. Но вместе с тем, соотношения (16) дают возможность выразить до статочно широкий класс граничных условий.)
При рассмотрении задачи Лагранжа в рамках клас сического вариационного исчисления будем предпола гать, что отрезок [/о, ^i] является фиксированным и ог раничение (17) отсутствует.
Задача (13) — (17) называется автономной, если во всех входящих в ее определение функциях н отобра жениях отсутствует явная зависимость от времени.
Линейными задачами оптимального управления бу дем называть задачи с закрепленным временем следую щего вида:
<■
| ((a (0 l* (0 ) + (M 0 U W ))t f - > in f ;
tn |
|
|
|
|
x = |
A(t)x + |
B(t) и, |
||
(gi (01x (t)) < |
(t), |
i = |
1, .. •, m, |
|
(Afc/| x (/* )) = P*/, |
A = |
0 , 1 , |
/ = |
1 ...........sk, us=U. |
Иногда требование о закрепленности времени при определении линейных задач опускают. Эти и более
|
§ 2.1. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ |
107 |
общие задачи оптимального управления будут исследо |
||
ваны в § 9.3 методами выпуклого анализа. |
|
|
2.1.3. |
Сильный и слабый экстремум в задачах клас |
|
сического вариационного исчисления. Поставленные выше задачи обладают все еще неопределенностью, ибо не описан класс допустимых элементов. Задача Ла гранжа (13) — (16) с фиксированным временем в рам ках классического вариационного исчисления будет ис
следоваться |
в банаховых |
пространствах |
С? (foXi]) X |
||
X Сг([/0, Л]), |
гДе СГ([/0,* 1]) — пространство |
непрерывно |
|||
дифференцируемых вектор-функций, |
a |
Сг([£0, М )— про |
|||
странство непрерывных вектор-функций. |
(Норму в про |
||||
странстве Ci |
условимся |
обозначать |
для |
сокращения |
|
||-Hi, норму же в пространстве С, если мы хотим сопо ставить ее с нормой в пространстве Си иногда обозна чаем II-Но-) Исследование простейших задач проводится
в банаховых пространствах С\ ([^0, / t]).
Локальный минимум в пространстве С" X Сг в слу чае задачи Лагранжа (или в пространстве С" в случае
простейших задач) |
называется |
с л а б ы м . Иначе |
говоря, |
|||
пара (х *(-), «*(•)) |
доставляет с л а б ы й л о к а л ь н ы й м и н и |
|||||
м у м ф у н к ц и о н а л у |
У ( х ( • ),«(■ )) в задаче |
(13) — (16), |
||||
если найдется |
такое число |
е > |
0, что для любой допу |
|||
стимой пары |
(х (• ),« (• ))е |
Ci X Сг такой, |
что |
|
||
Н *(' ) — * .( *)lli < е> |
II ы ( -) — w, ( -) По < |
е, |
||||
выполняется неравенство |
|
|
|
|
||
У ( х ( - ) , и ( - ) ) > У ( х . ( - ) , «,(•))• |
|
|
||||
При этом |
пара |
называется |
д о п у с т и м о й |
в |
задаче, |
|
если она удовлетворяет ограничениям (14) и (15) и граничным условиям (16).
Совершенно аналогично определяется слабый мини
мум для простейшей задачи (12). |
пространства |
||||||
Локальный экстремум |
в |
топологии |
|||||
С.1 (по х ) |
называется с и л ь н ы м . |
Иначе говоря, допусти |
|||||
мая пара |
(**(•), ц *(-)) |
доставляет с и л ь н ы й л о к а л ь н ы й |
|||||
м и н и м у м |
функционалу У |
в задаче (13) — (16), если най |
|||||
дется |
такое число |
е > |
0, |
что |
для любой |
допустимой |
|
пары |
(*(•), «(• )), |
для которой |
|
|
|||
II * ( ' ) — * .(• ) 11о < е»
1 0 8 |
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
выполняется неравенство
Д ( * ( - ) , д ( - ) ) > Д ( х . ( . ),«. (•)) .
Аналогичным образом определяется сильный мини мум для простейшей векторной задачи (12).
Но мы будем в термин «сильный экстремум» вкла дывать несколько расширенное толкование, которое свойственно этому понятию в задачах оптимального управления. Об этом речь пойдет в следующем пункте.
2.1.4. Допустимые управления и управляемые про цессы в задачах оптимального управления. Оптималь ные процессы. Уже упоминалось, что требование непре рывности управлений во многих случаях не является естественным. Нередко из самой постановки задачи вы текает необходимость рассматривать более широкий класс допустимых управлений. Иногда в качестве тако вого берут класс кусочно-непрерывных управлений. Мы же будем обычно рассматривать в качестве допустимых
произвольные ограниченные измеримые управления, принимающие значения из множества U(t).
При таком выборе допустимых управлений требуется уточнить понятие управляемого процесса. Процесс (x(t),u(t)) называется управляемым на отрезке |Y0, t\], если на этом отрезке функция u(t) — допустимое управ ление, х (t) — абсолютно непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая почти всюду уравнению (14):
X(t) = 4>(t, x(t), u{t)).
В понятие допустимого управляемого процесса вклю чается и отрезок времени, на котором этот процесс рас сматривается. Таким образом, управляемый процесс,
допустимый |
в |
задаче |
(13) — (17), |
это |
тройка |
||||||
(x(t), |
u(t), |
[f0, *,]) |
такая, |
что |
вектор-функции |
x(t) |
|||||
и u(t) образуют |
управляемый |
процесс |
на |
отрезке |
|||||||
[to, h] |
и при этом |
фазовые |
переменные x(t) удовлетво |
||||||||
ряют |
фазовым ограничениям (15) и граничным усло |
||||||||||
виям |
(16). |
|
процесс |
(xt (t), ut (t), |
[lo., |
й»]) |
назовем |
||||
Допустимый |
|||||||||||
оптимальным, |
если |
найдется е > |
0 такое, |
что |
для |
вся |
|||||
кого |
другого |
допустимого |
процесса |
(*(^), и (/), [£0. М)> |
|||||||
для которого I to — to* |< |
е, I t\ — t\* 1< |
e, I X (t) — xt {t) I < Б |
|||||||||
§ 2.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВЫВОДЫ |
109 |
(Vfe=[f„, *,]П[*о., ti,]) имеет место неравенство
2 ( x ( - ) , u ( - ) ) ^ V ( x t ( •), « .(О ).
В описанной ситуации говорят |
еще, |
что |
процесс |
|||
(х*(/), |
а*(0» |
[/о*, /и]) доставляет |
сильный |
минимум в |
||
задаче |
(13) — |
(17). |
к |
задачам |
классиче |
|
Таким образом (возвращаясь |
||||||
ского вариационного исчисления), в расширенное по нимание сильного минимума вкладывается следующий смысл. Проиллюстрируем его на векторной задаче клас сического вариационного исчисления.
Мы говорим, что вектор-функция x„{t) доставляет сильный минимум в задаче (12), если существует е > 0 такое, что для всякой функции x(t)<= WS.,i([^o, *ij)> удов летворяющей граничным условиям и неравенству
||*(-)— М- ) 1 1 о < е ,
имеет место неравенство
§ 2.2. Элементарный вывод необходимых условий экстремума для простейших задач классического вариационного исчисления
В этом параграфе мы даем вывод необходимых ус ловий Эйлера, Вейерштрасса, Лежандра и Якоби, ис пользуя самые элементарные средства. Наши рассуж дения всюду основаны на непосредственном примене нии метода вариаций.
2.2.1.Элементарный вывод уравнения Эйлера. Нач
нем с простейшей задачи с закрепленными концами:
Л |
|
|
. ? ( * ( • ) ) = f L (t,x(t),& (t))d t-+ in i; |
0) |
|
и |
|
|
x(t0)=Xo, |
X ( t i ) = X i . |
|
Предположим, что функция L(t,x,y) непрерывно дифференцируема в некоторой области U пространства R3. Задачу (1) будем исследовать на слабый экстремум, т. е. — в пространстве Ci([/o,^]).
п о |
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИ, |
Вывод |
уравнения Эйлера состоит из трех этапов. |
Первый этап состоит в доказательстве того, что функ
ционал & обладает первой вариацией |
(в любой точке |
|
х*(-) такой, что точки |
(t, х* (/), x*{t) ), |
t ^ [ t 0,ti], принад |
лежат области U), и в |
получении необходимого условия |
|
в терминах первой вариации. Рассмотрим функцию од ного переменного
ф(Я)= |
ЗДх,( .) |
+ |
**(•)) = |
J |
'Ftf, |
*)<#= |
|
|
|||||
|
|
|
и |
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
{ |
L(t,x,(t) |
+ |
lx (t), х, (t) + |
lx |
(t)) dt, |
(2) |
||||
порожденную |
вариацией |
x( t, l) |
= |
x*(/) + |
lx(t) |
точки |
|||||||
x*(-) |
по направлению точки x( - ) . |
При наших допуще |
|||||||||||
ниях относительно L, х*(-) |
и х( - ) |
функция Чг(/, Я,) яв |
|||||||||||
ляется дифференцируемой |
по I при достаточно малых |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
дЦГ |
|
|
|
|
|
|
|
I, и при этом производная -щ - непрерывна, ибо |
|
|
|||||||||||
dX¥{Jl |
= |
Lx ((, х, (0 + lx (t), |
х, (t) + |
Ях (0) x (t) + |
|
|
|||||||
|
|
|
|
+ |
Lx (t, x, (/) -f- lx |
(t), xt (t) -f- lx |
(t)) x (t). |
||||||
Следовательно, |
допустимо |
дифференцирование |
в |
(2) |
|||||||||
под знаком интеграла и при этом |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ф' (0) = |
Ъ&(х, (•), |
х (•)) = |
J (q (t) x{t) + |
p (t) x (it)) dt, |
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q (0 = |
Lx (t, x, (t), x, {t)), |
p (t) = |
Lx (t, x, (t), x |
(0). |
|
||||||||
Далее, если функция x*(/) подозреваема на экстре мум, то она допустима, и значит, для любой функции x(t), принадлежащей подпространству Ь0:
L o = ( x ( O e C , ( [ f 0, *il)l *(^о) = * ( f i) = ° Ь
функция х*( 0 + ^ ( 0 будет проходить через те же гра ничные точки, что и функция х*(0- Следовательно, если x„(t) есть решение задачи (1), то при условии, что