Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Это соотношение называют уравнением Эйлера в форме Дюбуа-Раймона.

Первое слагаемое в последнем соотношении можно продифференцировать, откуда вытекает, что и второе слагаемое является непрерывно дифференцируемым.

ный минимум в задаче (1), необходимо, чтобы было выполнено уравнение Эйлера в форме Лагранжа:

— -jf Lx (t. х, (t), xt (t)) + Lx (t, xt (t), x. (/)) = 0. (6)

Функции л:* (t), вдоль которых выполнено уравнение Эйлера, называются экстремалями.

Приведем несколько частных случаев, когда у урав­

уравнение Эйлера допускает интеграл энергии:

H(t) = p (t) xt (/) — L (x, (t), xt (0) =

= Ex (x, (t), xt (/)) i . (0 — L (xt (t), xt (t)) = H0 = const.

Следствия 1 и 2 непосредственно вытекают из (6). Для доказательства следствия 3 надо взять производную

нулю.

циальное уравнение (6) второго порядка. Общее ре­ шение этого уравнения зависит от двух произвольных

где, в отличие от задачи (1), нет краевых условий, но функционал имеет терминальные слагаемые.

Этапы доказательства те же. В предположении о не­ прерывной дифференцируемости всех входящих в (8) функций, легко проверить, что для функции x*(t), ле­ жащей в области дифференцируемости ф0, г|ц и L, у функ­ ционала 33 существует первая вариация и она равна

6Я (*.( •),*(•)) =

= Фо (*. (to)) X (to) + ф1 (х , (*,)) X (t{) + М (х , (• ), X (• )) =

Если хт(t) есть решение задачи (8), то очевидно, что

На подпространстве L0, введенном нами ранее, первые вариации и Ы7 совпадают и, следовательно, в силу предложения 1, Lk | (t) = р (/) есть непрерывно диффе­

ренцируемая функция и выполнено уравнение Эйлера

(6). Интегрируя по частям выражение (9) для первой вариации функционала 6&(xt (-), *(•)) по Лагранжу и

воспользовавшись уравнением Эйлера, мы приходим к тому, что

слабый локальный минимум в задаче (8), необходимо,

скраевыми условиями

РОо) — Lx \Xt (U) — оФ' {Х. 0о))>

то мы придем к уравнению Эйлера, имеющему в век­ торной записи вид (6). На самом деле это — система п уравнений второго порядка:

где i — 1, . . . . п. Общее решение этого уравнения за­ висит от 2п параметров, которые «тратятся» на удов­ летворение краевых условий.

Аналогично дело обстоит и с простейшей векторной задачей Больца, когда в (8) х (•) е С? ([/0, ^]), -ф0: R" -* R, -ф): R "-> R , L: R X R” X Rra—►R. Здесь снова уравне­ ние Эйлера имеет в векторной записи тот же вид (11)

даче (1), г ( - ) е Д Совершенно аналогично тому, как это было проде­

лано нами в примере 8 из § 0.2, показывается, что функционал / в (13) дифференцируем по Фреше в про­

Уравнение Ферма f'(0) — 0 равнозначно тому, что

Проинтегрировав первое слагаемое в (14) по ДюбуаРаймону и воспользовавшись тем, что в качестве функ­ ции y ( t ) = х (/), х ( - ) е L0, можно взять любую непре­ рывную функцию, в среднем равную нулю, мы полу­ чим, что линейный функционал в пространстве С ([/о, ti\), равный

Jt, q (т) dr + р (t) = l 0, t

аэто и есть уравнение Эйлера.

Всилу отмеченного обстоятельства простейшая за­ дача вариационного исчисления есть бесконечномерный аналог задач на отыскание безусловного экстремума функций нескольких переменных. Но вместе с тем в за­

дачах вариационного исчисления возникают дополни­ тельные в сравнении с классическим анализом эффек­ ты, связанные со спецификой этих проблем. Переходим к иллюстрациям.

Пр и м ер 1. Решение уравнения Эйлера сущест­ вует, единственно и доставляет абсолютный экстремум в поставленной задаче-.

мум в поставленной задаче.

П р и м е р 2. Решение уравнения Эйлера существует, единственно, дает слабый экстремум, но не дает силь­