Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

120 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ '

Здесь уравнение Эйлера таково: ~ (Зх2) = 0. Един­

ственное решение, удовлетворяющее граничным усло­ виям: x * ( t ) = t . Пусть функция x(t) принадлежит про­ странству Ci([0, 1]) и х(0) = х(\) — 0. Тогда функция x*(f) + * (0 является допустимой. Мы получаем:

доставляет слабый локальный минимум в поставленной

Остается заметить, что функции hn(t) сколь угодно близки к нулю в метрике С([0, 1]), если п -> оо . Полу­ чилось, что сильного экстремума здесь нет и inf = г = — оо. Причина первого явления — невыполнение уело-

вия Вейерштрасса. Причина второго вскрывается тео­ ремой Боголюбова (см. п. 9.2.4).

П р и м е р 3. Решение уравнения Эйлера существует, единственно, дает абсолютный экстремум, но не яв­ ляется функцией класса Су.

Этот пример принадлежит Гильберту. Здесь уравне­ ние Эйлера имеет вид

- £ - ( № ) = 0 .

Его общее решение: x(t) = С71/3 + D. Через заданные точки проходит кривая x * ( f ) = f 1/3. Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция x*(f) достав­ ляет абсолютный экстремум в поставленной задаче. Но функция x*(f) не является непрерывно дифференци­ руемой.

П р и м е р 4 (сопряженная точка):

функционала 3 4 равна нулю. Для этого достаточно при­

т

J (x(t) - x ( t ) - cig tfdt,

о

из которого следует, что при Т < л функция x* (f)==0 —

Действительно, интегрируя по частям, мы получаем:

точками, сопряженными с точкой нуль. В нашем случае такие решения имеют вид x(t, С) ~ С sin t. Важнейшее значение имеет то, принадлежит первая сопряженная точка отрезку [О, Т] или нет. Условие минимума, касаю­ щееся сопряженной точки, — условие Якоби — мы об­ суждаем в п. 2.2.5.

Подведем итог. Мы обнаружили случаи, когда

— решение уравнения Эйлера существует, единствен­ но, но не дает ни сильного, ни слабого экстремума:

Т> л, Т ф kn\

—решений бесчисленное множество и все они до­

ставляют абсолютный минимум в поставленной задаче:

Т- л;

—решений бесчисленное множество, но ни одно из

(ср. с примером 3).

Этот пример принадлежит Вейерштрассу. Он выдви­ гался Вейерштрассом в качестве аргумента против ри­ мановского обоснования принципа Дирихле.

проходит ни одна кривая этого семейства. Более того, решение задачи не существует в классе абсолютно не­

нулю. Действительно, если взять минимизирующую по­ следовательность Вейерштрасса

хп(t) — arctg ntjarctg n

или x n( t ) = f ln, или еще проще —

то обнаружится, что Sf5 (xn(• ))-» 0 (&5 (yn (• ))-> 0).

Примеры 3 и 5 являются частными случаями за­ дачи 55; они обсуждаются в § 9.2. Там же разъяс­ няется причина, по которой в примере Вейерштрасса нет решения.

2.2.3. Необходимое условие Вейерштрасса. Условие Вейерштрасса в отличие от уравнения Эйлера есть усло­ вие сильного экстремума. При выводе этого условия будем использовать специальные вариации, которые были введены по сути дела самим Вейерштрассом и по­ тому мы называем их вейерштрассовскими. Производ­ ная той добавки, которая входит в определение вейерштрассовской вариации, напоминает иголку, которая при стремлении параметра К к нулю делается более узкой, но не уменьшается в равномерной метрике. Подобные вариации будут использованы нами и при выводе про­ стейшего варианта принципа максимума в § 2.4.