Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 0
§ 2.2. |
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ |
ВЫВОДЫ |
131 |
З а м е ч а н и е . Предложение 4 может быть сразу |
выведено из |
||
условия Вейерштрасса. |
Действительно, |
если Л ( т ) < 0 , |
то условие |
Вейерштрасса для функционала Ж в точке т не выполнено (ибо
<%(t,x,x,\) |
равна здесь |
ДН) ( £ — х ) 2). Значит, |
существует лома |
ная x(t), |
сколь угодно |
близкая в метрике С к |
нулю, на которой |
Ж ( х ( - ) ) < 0. Сгладив ее и умножив на малую константу, мы при ходим к доказательству предложения 4.
2.2.5. Условие Якоби. Все три необходимых условия экстремума, о которых речь шла выше, а именно, урав нение Эйлера, условие Вейерштрасса и условие Ле жандра, имели локальный характер в том смысле, что требовали для своей проверки вычислений в отдельных точках*). С другой стороны, ясно, что одних локальных условий недостаточно, чтобы получить удовлетворитель ные необходимые условия в классическом вариационном исчислении. Это видно, скажем, из такого примера. Дуга большого круга является кратчайшей линией на сфере, соединяющей две заданные точки, только при том усло вии, если внутри нее нет диаметрально противополож ных точек сферы. Если же такие точки существуют, то она не будет давать решения о кратчайшей линии, сое диняющей заданные точки. Вместе с тем любая малая часть этой дуги является кратчайшей н, следовательно, в любой точке этой дуги выполнены все локальные
необходимые |
условия |
экстремума. Все дело в том, |
что более |
короткий |
путь, соединяющий концы на |
шей дуги, получается не локальной, а глобальной ва риацией.
Условие Якоби как раз и является основным гло бальным необходимым условием локального минимума. Так же, как и условие Лежандра, оно есть условие не отрицательности квадратичного функционала.
Итак, снова рассмотрим простейшую задачу (1) и будем считать, что выполнены все допущения, при ко торых мы вывели условие Лежандра. Рассмотрим квад ратичный функционал, являющийся второй вариацией
*) То понятие локальности, которое обсуждается здесь, имеет иной смысл, чем ранее, когда мы говорили, скажем, о локальном экстремуме. Здесь говорится о локальности и глобальности необхо димых условий (локального экстремума!), т. е. об условиях, тре бующих для своей проверки отдельных точек кривой или кривой в йе'лом.
5*
132 |
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
|
|
функционала 3 ( х ( ■)): |
|
|
|
#(*(•)) = |
(х. (• )> х(-)) = |
|
|
|
= | ( A (t) х2 (t) + (В (t) - 4 |
С (О) х2 (О) dt. |
|
|
tn |
|
|
Уравнение Эйлера функционала Ж имеет вид |
|
||
- ± { A ( t ) x ) + { B { t ) - - ^ C { t ) y |
= 0. |
(22) |
|
Уравнение (22), т. е. уравнение Эйлера второй ва риации функционала ЗД х)-)), называется уравнением Якоби задачи (1). Уравнение Якоби — линейное диффе ренциальное уравнение второго порядка. Предположим, что выполнено следующее строгое неравенство:
A(t) = Lu (t, xt (t), xt (t)) > 0.
Это неравенство называется усиленным условием Ле жандра. Пусть это условие выполнено. Уравнение (22) можно переписать так (предположения относительно L
нх* позволяют это сделать):
—А (0 х — A (/) х + (В (t) — С (0) х = 0,
или
х — P(t)x — Q(t)x = 0. |
(23) |
Для таких уравнений имеет место теорема существова ния и единственности для задачи Коши. В частности, решение Ф(^Д0) уравнения Якоби с краевыми усло
виями Q>(t0, t0) = 0, Ф (/0Дс) = 1 существует и един ственно.
Нули этого решения, отличные от точки to, называют
точками, сопряженными с точкой t0.
П р е д л о ж е н и е 5. Для того чтобы функция х*(/) доставляла слабый минимум в задаче (1) (при предпо ложениях относительно гладкости L и х*(-), при кото рых было выведено предложение 4, и при выполнении усиленного условия Лежандра), необходимо, чтобы на интервале (to, ^i) не было точек, сопряженных с точ кой t0.
Это условие называется необходимым условием Якоби,
§ 2.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВЫВОДЫ |
|
133 |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Допустим, |
что |
имеет |
место |
обратное, т. е. существует точка т |
(/о < |
т < |
t\) та |
|
кая, что |
|
|
|
|
ф (т, |
д = о . |
|
|
|
Заметим, что Ф(т,/о)=#=0, ибо иначе в силу един ственности решения задачи Коши уравнения (23) с дан
ными |
Коши |
х(х) = х(х) — 0 мы |
получили |
бы, |
что |
||||
Ф(/, /0) = 0, |
что проти- |
|
__________ |
|
|
||||
воречнло |
бы |
равен- |
|
|
^\Ы+,Л,г.£) |
|
|||
ству |
Ф ( М о ) = 1 - |
s' |
|
|
|
, , |
|||
Обозначим |
через |
/ |
...___________________,у — |
||||||
h(t) функцию, совпа; |
|
|
|
т-AzT+S tf |
|||||
дающую с |
Ф(£, t0) на |
|
|
Рис. |
6. |
|
|
||
[/о, т] и равную нулю |
|
экстремаль», |
она |
состоит |
из |
||||
при t ^ т. Это — «ломаная |
|||||||||
двух экстремальных кусков. |
|
|
|
|
|||||
Покажем, что Ж{1г(-)) — 0. Действительно, интегри |
|||||||||
руя по частям, мы получим: |
|
|
|
|
|||||
х (h (•)) = |
Тj |
(ЛФ(/)2 (t, tQ) + |
(В (/) - |
С (0)Ф2 (t, |
to)) dt = |
|
|||
|
|
|
= Jт ( — ^ - [ л (0Ф (^ g ] + |
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
(В(t)- C (0) ф (t, to)) ф(/, to) d t= 0. |
|||||
Построим теперь вариацию функции h (t) (рис. 6)
t |
h(t), |
t0^ t ^ x |
— X, |
|
hit, X, x, e ) = l |
линейна |
на отрезке [т — X, х + е], |
||
| 0, |
1 |
т + |
е. |
|
Вычислим ф(Я) = Ж (h (• , X, х, е)). Имеем *):
Ф(А) — ф(0) = ф(Я) |
- |
T + S |
% |
= j К (t, h (t, |
X), h (t, Я)) dt — [ к (t, h (t), h (0) dt, |
x — A. |
t — \ |
*) Для сокращения мы вместо h(t, А,т, е) пишем h(t,X).
134 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ
при этом по теореме о среднем из дифференциального исчисления
|А(т — X, Я) |= |/г (т — X)\ = \kh (6,) |, |
т — |
0, < т, |
|||||
откуда |
по |
теореме о среднем из |
интегрального |
исчис |
|||
ления |
|
|
|
|
|
|
|
ф (А) = |
(X + |
е) Л (0 ,) h2(0,) |
- |
ХА (03) h2(03) + |
о (X), |
||
где т — Л ^ |
02 ^ т -j-е, |
т — А ^ 0 3^ т . |
Отсюда |
|
сразу |
||
получаем, что |
|
|
|
|
|
||
|
|
ф '(+ 0 ) = |
—А (т)/;2( т ) < |
0. |
|
|
|
Значит, существуют такие Ха и е0, что Ж (h (•; Аэ, т, еи))<0. Остается «сгладить» h (t, Х0, т, е0). Предложение 5 до казано.
§2.3. Задача Лагранжа. Уравнение Эйлера — Лагранжа
Вэтом параграфе выводятся уравнения Эйлера — Лагранжа для задач классического вариационного ис числения с ограничениями. В основе вывода лежит пра вило множителей Лагранжа, доказанное в гл. 1. Отрезок [*о, t\] в этом параграфе предполагается фиксированным.
2.3.1.Задача Лагранжа в разрешенной форме без фазовых ограничений. Рассмотрим следующую экстре мальную проблему:
3 (х ( •), и (• )) = | / (t, х, и) dt -> inf;
|
tt} |
( 1) |
|
i = |
qp (t, x, и), |
||
|
|||
M*(*o)) = |
0. M*(*i)) = 0- |
|
Мы видим, что здесь дифференциальные ограничения имеют разрешенную форму и фазовые ограничения от сутствуют. Будем считать, что выполнены стандартные для классического вариационного исчисления требова-