Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 0
§ 2.3. ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА |
135 |
нпя гладкости, а именно, предположим, что отображения
f: R X R " X R ' - > R . q>: R X R" X Rr R"
непрерывно дифференцируемы по совокупности перемен
ных в |
области [/ с R X R" X R\ |
содержащей |
точки |
|
(t, xt (t), |
ы, (0), t ^ [ t 0, /,], а отображения |
|
||
|
hr. Rrt ->• RS(, |
i = 0, |
1, |
|
непрерывно дифференцируемы |
в областях Vh / = |
0, 1, |
||
содержащих точки х, (/,), г' = 0, 1. При этом (х, (t), ut (t))
принадлежит пространству |
С* ([to, |
*i]) X |
([fo> Л]). |
||
Обозначим |
через |
L = L(t, х, х, |
и, р, |
Яа) функцию |
|
L = |
k0f (t, |
х, и ) + |
(р Iх — ф (f, |
х, и)), |
|
L: R X R" X Rn X Rr X R" X R -> R.
Эту функцию будем называть лагранжианом задачи (1).
Функцию % = 2 (х ( • ) . « ( • ) . Р ( •). /о. Л. Ю-
2 = |
| L(t, x (t), |
x(t), |
u(t), |
p(t), A,0) dt + |
|
|
||
|
|
|
|
+ |
(/„ |A„(x (/„))) + |
(/, |A, (x (/,))), |
||
2\ С1 ([/о, *.]) X |
C r ([to, |
/,]) |
X |
Cl ([/о, М ) X R S" X R S'X R ~ > R , |
||||
назовем функцией Лагранжа задачи |
(1). |
|
|
|||||
Т е о р е м а |
1. Для того |
чтобы |
пара |
(**(•),«,(■)) |
||||
доставляла слабый локальный минимум |
в |
задаче (1), |
||||||
необходимо, чтобы нашлись такие не равные одновре |
||||||||
менно нулю множители Лагранжа A0e R , |
А0> 0 , /f eER\ |
|||||||
/ — 0, |
1 и р( •) е С" ([/о, /|]), |
что |
|
|
|
|||
а) |
выполнено уравнение Эйлера для лагранжиана L |
|||||||
по х: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
с краевыми условиями |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= ho (xt (t0)) l0, |
) |
|
|||
|
|
|
= - * f ( x . ( * i ) ) /i ; J |
(3 ) |
||||
|
|
|
|
|||||
136 |
ГЛ. |
2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
|
|
б) выполнено |
уравнение Эйлера для |
лагранжиа |
на |
L по и\ |
|
(4) |
|
|
U.W. и. «)) |
Совокупность уравнений (2) и (4) называется урав нением Эйлера — Лагранжа задачи (1). Приведем раз вернутое выражение полученных уравнений. Уравнение
(2) в развернутом виде имеет форму дифференциаль ного уравнения в векторной форме:
— Р (0 = Ф* (*’ х. (О, и, (0) Р (0 — Kfx (t, х, (t), и, (/)). |
(2') |
(На самом деле это система п уравнений.) Его назы вают сопряженным уравнением. Соотношения (3) суть краевые условия для уравнения (2'):
р (to) = |
ho (xt (to)) to, |
| |
P ( t i ) = |
- h ' l'(x,{tl))lu |
J |
Они называются обычно условиями трансверсальности.
Наконец, уравнение (4) имеет вид
ф; (t, X, (t), и, (0) р (0 = Kfu (t, xt (t), и, (/)). |
(40 |
В теореме 1 снова находит свое подтверждение принцип Ла гранжа. Составив функцию Лагранжа 9?, мы пишем затем необхо димые условия экстремума для задачи без ограничений:
9S-> inf.
Если в этой последней задаче зафиксировать «»(/), то полу чается простейшая векторная задача Вольца и соотношения (2),
(3) находятся в полном соответствии с предложением 2 предыду щего параграфа, где мы вывели необходимое условие для простей шей задачи Больна. Далее, если в функции Лагранжа зафиксиро вать x*(t), то мы получим по и простейшую векторную задачу, где лагранжиан не зависит от й. Уравнение (4) написано в полном соответствии со следствием 1 из предложения 1 предыдущего пара графа.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Задача (1) от носится к числу гладких задач, к которым применимо правило множителей Лагранжа (теорема 1 из § 1.1). Покажем это.
В силу того, что в теореме речь идет о слабом экс тремуме, мы нашу задачу должны рассматривать в про
странстве С" ([to, <i]) X |
Cr ([fo. |
/i]). |
Для краткости обозна |
чим это пространство |
через |
Z, |
а пару (*(•),«(•)) бу |
|
|
|
§ |
2.3. ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА |
|
|
137 |
||||
дем |
обозначать |
г. |
Обозначив |
через |
У |
пространство |
|||||
Сп([/о, М)> положим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ыг) = |
ЗЧ*( . ), |
«(•)), |
U |
Z-+ R, |
||||||
|
F (г) (t) = i |
(0 — ф (<, |
х (/), u (/)), |
F: |
Z |
У, |
|||||
|
Hi (z) = |
hl (x(tl)), |
НГ. |
Z - » R % |
|
г = |
0, 1. |
||||
Тогда |
задача |
(1) |
примет вид |
(6) — (8) |
из § |
1.1: |
|||||
|
|
/о (г)- i n f ; |
^ |
= 0, 1 |
|
|
|||||
|
|
H,(z) = |
0, |
г |
= |
0, 1. |
j |
|
(1 ' |
||
Нужно проверить |
условия |
следствия 2 |
из теоремы 1 из |
||||||||
§ 1.1. Все функции и отображения, входящие в форму лировку задачи (1'), являются непрерывно дифферен
цируемыми в |
окрестности |
точки г» = (* » (• ), ы.(*)). |
Действительно, |
функция /0(г) является суперпозицией |
|
fo — 3f2°3ri отображения |
|
|
3 1 (z) = |
f(t,x (t), и (/)), |
У г Z -► С ([/о, М), |
дифференцируемость которого была доказана в при мере 6 из § 0.2, и линейного непрерывного функционала:
t,
З 2 (Е) = / С(0 dt, Sfr С ([/0, /,])-> R,
дифференцируемость которого была установлена в при мере 1 из § 0.2. Приведем формулу для производной функции /о(2):
/о(Z.) 2 = 3 |
' ( Х ф ( . ), 22, ( •)) ( х |
( •), и ( •)) = |
||
|
|
*1 |
|
|
|
= |
J ((a(t)\x(t)) + (b (t)\ u m d t, (5) |
||
|
|
^0 |
|
|
а (0 = |
fx (t, х, (t), |
и. (/)), |
6 (0 = fu (t, х, (/), 22, (t)). |
|
Отображение /г(.г) есть сумма непрерывного линей |
||||
ного отображения |
|
|
||
и отображения |
Z - > X |
|||
— ф(/, |
x{t), «(/)), |
|||
|
|
|||
1 38 |
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
дифференцируемость которого была доказана в при мере 6 из § 0.2. Таким образом, F (z) является диффе ренцируемым отображением и его производная равна:
[F' (г.) г] (/) = х (t) — А (() х (t) — В (/) и (t),
А (t) = <рх (/, * (0, и. (/)), В (/) = ф„ (t, х. (0, и, (0).
Наконец, отображения Л, (г), i — 0, 1, являются диф ференцируемыми в силу доказанного в примере 4 из § 0.2, и их производная равна
Hi (2.) 2 = |
TiXiti), |
/ = 0, |
1, |
| |
= |
|
<= |
0, |
1. J |
Осталось доказать |
регулярность |
отображения F(z) |
||
в г*. По определению понятия регулярности это озна
чает, что для любого |
у( •) е О ([^0, ^,]) |
мы должны ре |
|||
шить уравнение |
|
|
|
|
|
|
x(t) — А (t) x(t) |
— В (t) и (t) = |
у (/), |
||
где |
матрицы A(t) и |
В(1) |
определяются |
соотношения |
|
ми |
6). В силу условий, |
наложенных |
на |
отображение |
|
Ф(t,x,u), и в силу того, что (х*(0> м+( / ) ) е С" X Сг, по лучаем, что матрицы A(t) и В(() непрерывны. Восполь зовавшись теоремой 1 из § 0.4 о разрешимости системы линейных уравнений, мы получим регулярность отобра жения F.
Теперь применим правило множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа задачи (Г):
& = l 0f0(2) + (у\ F (2)> + (/„ |Я0 (г)) + (/, |Я, (г)). (8)
В соответствии с правилом множителей Лагранжа най дутся такие множители Лагранжа у*, /0, /[, Я.о, что в точке 2, выполнены соотношения
|
|
2 Х = |
0, 2 и = 0, |
(9) |
равносильные соотношению 2 г — 0. |
теоремы |
|||
Но |
Y = |
С'1([/0, /]]). |
Следовательно, в силу |
|
Рисса |
об |
общем виде |
линейного функционала |
в про |
2.3. ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА |
139 |
|
странстве О , существует |
регулярная борелевская |
мера |
ц такая, что |
л |
|
|
|
|
(>/, //(•)) = |
/ (y(t)\dvL(t)). |
(10) |
Соотношение (10) можно переписать по-другому:
п/,
|
|
(//*. !/(•)) = |
V |
j t/WdvL,®. |
(100 |
||
|
|
|
|
|
1=1 /» |
|
|
|
Здесь |
ц,(/)— функции |
ограниченной вариации, не |
||||
прерывные справа, за исключением, быть |
может, точки |
||||||
to- |
Подставляя |
(10) |
в (8), |
получаем, что |
|
||
|
п |
|
ь |
|
|
|
|
^ |
= J Kf dt + |
| (х - |
ф I dix) + |
(/0 \h0(x (t0))) + |
(/, \lh(x (/,))). |
||
|
t \) |
|
*0 |
|
|
|
|
Сначала |
исследуем |
первое |
из уравнений |
(9). Имеем: |
|||
|
|
|
г, |
|
|
|
|
& х ( * . ) * ( ■ ) = / (Я„а(/)|.г(0)й + |
|
||||||
|
t, |
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
J (.i (t) |
A(t) х (t) I d\i {t)) + |
(/0 I r 0-v (/0))+(/, |
I r,.v (/,)). (11) |
|||
tc,
Проинтегрируем по частям слагаемые, содержащие под знаком интеграла x{t):
J (Aua (t) |.v (0) dt =