Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 171
Скачиваний: 0
140 |
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
|
Подставив эти выражения в (11) и воспользовавшись тем, что
получим:
Й х ( 2 . ) X ( • )
<1
х (0) = х {to) + J X (т) dx,
|
to |
U, |
t, |
J U |
(t) |J м (т) dx — |
и \ |
t |
+ f* (to) I nio + П /i + { |
|
( t ) dx - |
J A' (x) dn (x)j . |
(12) |
||
Выражение (12) представляет собой непрерывный |
||||||
линейный функционал в |
пространстве С": |
|
||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
& х (2.) JC(•) = / |
(X (0 I dv (/)) + ( а I * (/0)), |
(13) |
|||
где |
1(0 + |
t{<. J М dx(тdt) — |
|
|
||
v(0= |
|
|
||||
|
|
и t |
t |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- |
J |
J A4x)dix{x)dt + r lllt, |
(13') |
|
|
|
11 |
t, |
t |
|
|
|
|
|
<i |
|
|
|
я = |
Го/о + |
ГГ/i + J XQa ( t ) dx — J |
Л* ( t ) d\x ( t ) . |
|
||
В силу единственности представления линейного функционала в пространстве С" в виде (13) и из урав
нения З'х — О получаем, что
v (/) = 0, a = 0. |
(14) |
Из (14) и (130 видно, что вектор-функция ц (t) абсо. лютно непрерывна. Положим \x(t) — p{t). Тогда из (14)
§ 2 3 ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА |
H I |
и (13) следует, что p{t) удовлетворяет уравнению
p ( t ) + f |
ktia{x)dx — j А’ (т)р(т)йт + rUi = 0. (15) |
t |
t |
Подставив в (15) t — tQ и воспользовавшись выра жением для а в (13'), получим:
|
|
|
Р {to) — iVo. |
|
|
|
|
|
||
Если положить t = |
tu то |
мы придем к равенству p{t,)= |
||||||||
= — Г?/,. |
Наконец, |
продифференцировав (15), |
приходим |
|||||||
к уравнению: |
— Р (t) = |
А'р (0 — |
|
(t). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
Соотношения (2'), (З7) доказаны. Подставив теперь |
||||||||||
вместо d\i(t) |
в формулу для 3?и выражение p(t)dt, по |
|||||||||
лучим, что |
линейный |
функционал |
в |
пространстве |
||||||
Сг([/0, ^]) |
вида |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% и(г*) и (•) = | (кф {t) - |
В* (0 р (0 |и (/)) dt |
|||||||||
равен нулю. |
По теореме Рисса отсюда следует, что |
|||||||||
|
|
|
B'(t)p{t) = kQb{t). |
|
|
|
|
|||
Соотношение (47), а вместе с |
ним |
и |
теорема |
1 дока |
||||||
заны. |
Изопериметрическая |
задача. |
|
|
||||||
2.3.2. |
Изопериметриче- |
|||||||||
ской задачей в вариационном исчислении называют та |
||||||||||
кую проблему минимизации: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
У (х (•)) = | /о (t, X, |
х) dt |
|
inf; |
|
|||||
|
11 |
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|
|
J fiit, x, |
x) dt = |
a,, |
j = |
1, . |
. |
m, |
|||
|
|
|||||||||
|
u |
h0{x (t0)) = |
Нфх(ti)) = |
0, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
fi : R X R " X R “ ->R, |
/ = 0,. |
|
m, |
|
|||||
hi- |
/ = 0, 1. |
142 |
ГЛ. |
2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
|
||
Если |
положить |
|
|
|
|
|
и1= |
xl, |
i = |
1......... |
п, |
|
xl+n = |
fj(t, X, и), |
/ = |
1......... |
т, |
то получится такая задача Лагранжа:
Применив теорему 1 к этой задаче, приходим к сле дующему результату.
Т е о р е м а 2. Для того чтобы вектор-функция х*(0 доставляла слабый локальный минимум в задаче (16), необходимо, чтобы нашлись такие множители Лагранжа
kj <= R, 0 ^ ^ ш, |
Uе RS(', |
г = 1, |
2, |
не все равные |
нулю, что для лагранжиана |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
L (t, |
x, x) = |
hfi (/, |
x, |
x) |
выполнено уравнение Эйлера
при этом удовлетворяются следующие краевые условия:
L* \Xt fta) = (xt (to))to,
L ^ x , u l) = = ~ !l o’
Можно предложить читателю в виде упражнения получить вид необходимого условия в задаче со старшими производными:
t,
*(> 0)=io . |
= |
0 < / < я - 1 . |
сведя ее к задаче Лагранжа. Кроме того, непосредственно из тео-
§ 2.1 ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТ РЯГИНА |
143 |
ремы 1 § 1.1 легко вывести необходимое условие для задачи с фа зовыми ограничениями, например, для такой:
f■ R X R" X Rn -> R. Ф: R X R" -> Rm. m < n.
Для того чтобы обеспечить регулярность, достаточно потребовать выполнения условия
rank Ф* (t. х (t)) = т, |
t е [/а, /,]. |
Необходимое условие в этой задаче будет также иметь вид уравнения Эйлера для лагранжиана
/. = /(/, л, х ) - ( р (/)|Ф(Л х)).
§ 2.4. Принцип максимума Понтрягина. Формулировка и обсуждение
Этот параграф посвящен формулировке и обсужде нию основного необходимого условия экстремума в тео рии оптимального управления — принципа максимума Понтрягина. Мы приводим здесь также элементарное доказательство принципа максимума для специального случая задачи со свободным правым концом. Доказа тельство принципа максимума в полной общности со держится в § 2.5. Мы ограничиваемся в этой главе задачей оптимального управления без фазовых ограни чений, отложив обсуждение задач с фазовыми ограни чениями до гл. 5.
2.4.1.Формулировка принципа максимума. Задача
оптимального управления без фазовых ограничений, как следует из объяснений, данных в § 2.1, формули руется следующим образом:
О (x( • ) , |
и ( • )) = | / (/, x, и) dt -> inf; |
( 1) |
|||
|
* = <p(t, X, u), |
(2) |
|||
|
u<=U |
c= Rr, |
|
(3) |
|
hn (to, |
x (^)) = |
0, |
/г, (/,, |
x (t,)) = 0 |
(4) |
(/: R X R " X R r-+R, ф: |
R X |
R" X |
Rr->- R", |
|
|
h0 R X R B - » R \ i = 0 , 1).