Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл (14,79Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 174

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

144 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

Предполагается, что все входящие в условие задачи функции и множества удовлетворяют условиям, указан ным в п. 2.1.2. В качестве допустимых управлений, как уже отмечалось, рассматриваются ограниченные изме

римые вектор-функции				u{t),	принимающие значения в
U, а в понятие «локальный экстремум» или «оптималь
ный процесс» вкладывается					тот	же	смысл,	что и в
п. 2.1.4.
Мы сформулируем принцип максимума в двух экви
валентных		формах — «гамильтоновой» и «лагранже-
вой». Начнем с гамильтоновой формы.
Рассмотрим функцию
H(t,	х,	и, р,	Л0) =	(р\|ф(/, д;,		u)) — Xaf(t,		х, и)
(где р ^	R",	/.о е	R+),	которую		мы	будем	называть

функцией Понтрягина. Переменные, обозначаемые бук вой р, обычно называются импульсами. Наряду с функ цией Понтрягина введем функцию

Ж (t, ,v, р, l 0) = sup Я (t,		и,	р,	10),
	ue=U
называемую гамильтонианом.			в	гамильтоновой
Т е о р е м а	1 (принцип максимума
форме). Пусть	(x(t), u(t)) — оптимальный управляе
мый процесс в задаче (1) — (4),		определенный на от

резке [/о*, tu]. Тогда существуют не равные одновремен

но нулю число Яо ^ 0, векторы /0 е		RSo,	/i е RS\| и век
тор-функция p(t) такие, что
а) вектор-функция p(t) удовлетворяет сопряженному
уравнению
р = — н х— — ф; (t, х, (t), U t (t)) p + K0fx (t,			x, ((), «. (/))			(5)
и условиям трансверсальности
p {to*) =	hox(to„ xt (to*)) lo,		1
p(ti*)=	h\x {tu, xt (t\,))l\',		J
б) почти при всех t из [/о., Л*]
H{t, xt (t), u,{t), p(t),	X0) = max H (t,	xt (t),	u,	p(t),	Я0) =
	«ell
	= ЖЦ, X,(t),			p(t),	КУ,	(7)

2.4.

ПРИНЦИП

МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА

145

в)

гамильтониан Mtt,

xt (t),

p(t),

Я,,) непрерывен

на

отрезке [to,,

/1*]

и на концах

его

удовлетворяет

соотно

шениям

Ж {to,,

xt (to*),

р (to*),

Яо) =

— (hot (to,.,

xt (t0,))

I/0),

}

M(t\„

xt (tu),

p(ti*),

ho) =

(hu(tu,

x* (ti,)) I/ 1).

Отметим выражение для гамильтониана

Ж (t, х. (t), р (t), Я0) = (hu (tu, x. (/,.)) I /,)

(8a)

+ J Ht (l, x,(l), ut (l),

p(l),

K)dl,

получающееся в процессе доказательства, а также еди

нообразную

гамильтонову

запись

х — Нр,

р = —Нх

уравнений (2) и (5).

Перейдем к описанию лагранжевой формы принци

па максимума. Напишем функцию Лагранжа задачи

(1) — (4), такую же, как и в § 2.3:

Jп Ldt,

& =

(/„I ^

(tQ, х (to))) + (/, I h, (tu

x (/,))) +

где

L (t, x,

и,

Я0) =

(p \x — qp (t, x, u)) +

Xaf (t, x, u)

•— лагранжиан задачи

(1) — (4).

лагранжевой

Т е о р е м а

(принцип

максимума

форме).

Пусть

(х*(/),«*(/)) — оптимальный

управляе

мый процесс

в задаче

(1)

—

(4),

определенный

на от

резке [/о*, /i*].

Тогда существуют не равные одновремен

но нулю

число Яо ^ 0,

векторы

/0 е

Rs°,

/, s

R*'

и не

прерывная п-мерная вектор-функция p(t),

при которых

а)

почти

всюду

на

отрезке

[То*, ^1*] лагранжиан

удовлетворяет уравнению Эйлера по х:

------

(50

*=*. (11

u = u , { t )

икраевым условиям

==(A)*j х* (A),)) lo,

/г*	L>x	==	x*	l\‘,	( 6 0

146 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

б)

почти при всех t из [/0„

Л*]

лагранжиан L

дост

гает минимума по и при и =

и. (t)\

L(t, x.(t),

x.(t),

u.(t),

p(t),

A0) =

= min L (0

(О, X .

(0,

U ,

(t), A0);

(7')

E ( j

в)

функция

Лагранжа

дифференцируема

no t

справа в точке to,,

по t\

слева в точке t\* и

OS’

дзе

= 0,

( 8' )

dt$ Ч- 0

с)t,

— О

где через

соответственно

dt ^о) ооозначены пра-

dt +

вая (левая) производные.

Проверка

эквивалентности

обеих

формулировок

принципа максимума не представляет труда. Действи

тельно,

L = (p\x) — Н.

Поэтому

соотношения

(5)

(50,

(6)

(60

(7)

(70 попарно эквивалентны. Осталось проверить эквива

лентность соотношений

(8) и

(80Отметим, что непре

рывность гамильтониана не является независимым ус

ловием. Она вытекает из (5)

и (7)

(это

будет видно из

доказательства) и, следовательно, из (50

и (70-

Далее,

в силу (70

& Vo, U, X. (•), ... ) =

(/о Ih0 do, X. (/„))) +

(/, |/г, (/„ -V. (0 )))+

+ Jt, {(p (t)\ x .(t))-M (t,

x.(t), P(t),

K)\dt.

Поэтому

при e >

3? (to, + e,

t\, . . 0

— 3

(to*,

t\, . . .) =

— (to

| ho (to, +

x, (to,

-f- e)) — ho

(to*,

x* (to,)))

—

*o* +e

[(P (t)

IX, (t))

m (t, X,

(t),

p ( t ) ,

A0)] d t

*a*

e ( / 0 I/го.» (to,,

x, (to,)))

(	* 0 * + 8	\	/
(	lo\hoc(to„ x,(t0*))
	lo\hoc(to„ x,(t0*))
	+ 6 2@(to., x* (to,),	p (to*),	Ao)

-j-

^0*+E

x,*(t) dt I— (p(/o*)

о (e) =

	§ 2.4. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА			147
(в	силу первого	равенства в	(6))
=	£ [(/о Ihot {to-,	Хь^О:))) + Ж (to.-., .V, (/,),), р (ф*)> А,о)] + о(е).
Полученное равенство влечет			эквивалентность	первых

соотношений в (8) и (8'). Аналогично проверяется и эквивалентность вторых соотношений.

Теорема Г и, следовательно, принцип максимума Понтрягина, является еще одной реализацией сформу лированного во введении принципа Лагранжа, соглас но которому необходимые условия экстремума в задаче с ограничениями совпадают с необходимыми усло виями экстремума функции Лагранжа при ограниче ниях, не включенных в эту функцию. В самом деле, если множители Лагранжа Яо, /о, h, p(t) фиксированы, то функция Лагранжа 3? зависит от трех групп перемен ных: фазовых траекторий x(t), управлений u(t) и мо ментов времени to, А- Если теперь отрезок [4, Б] и уп равление u(t) зафиксировать, то задача о минимуме функции Лагранжа по x (t ) имеет вид классической за

дачи	Больца, а утверждение а)	теоремы Г означает,
что x*(t) удовлетворяет необходимому			условию мини
мума	функции Лагранжа по x(t)	при	фиксированных
u(t) =	u#(t) и to = to, ti — Б-

Точно так же, утверждение б) теоремы V необходи мо и достаточно для того, чтобы функция Лагранжа до стигала минимума по всем допустимым управлениям

(это единственное ограничение, не включенное в функ цию Лагранжа, поскольку оно не носит функциональ

ного характера!) при фиксированном отрезке	[ф, Б] «
траектории x(t) в точке u (t)— u(t). (Это	утвержде
ние следует из интуитивно очевидной формулы

и	t,
inf Г g(t, и (t)) dt =	f inf g(t, u) dt,
U(t)fEU f	U<S(J

строго доказанной в гл. 9 при значительно более общих предположениях.)

Отметим	далее, что вектор-функции	x(0> и(0 и
p (t) можно	продолжить левее точки ф*	и правее точки

Б* так, чтобы функция Лагранжа стала дифференци руемой по to и tx в точках ф* и Б* соответственно. Для

148	ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

этого нужно, чтобы х*(/) и p{t) оставались непрерыв ными, а «*(0 удовлетворяла соотношениям

lim Hit, x,{t), и* {(), p(t), Я0) = Ж (to,, х» (/0«), р (к,), Я0),

о*
lim Н (/, х*(/), «,(/)> р(0. Я0) =	(/ft, х. (<1«), р(!ч), Я0).
<46*

В этом случае из приведенной выше выкладки следует,

что	в	силу (8')	производные функции Лагранжа	по ta
и	в	точках ^о*	и liif соответственно равны нулю.	Дру

гими словами, утверждение в) теоремы 1 ' означает, что моменты времени /0* « удовлетворяют необходимым условиям минимума функции Лагранжа по /0 и ti.

Выше мы отметили, что единственным ограничением, не включенным в функцию Лагранжа в теореме 1', было условие (3). Однако в конкретных случаях в функ цию Лагранжа можно не включать и некоторые другие ограничения, главным образом граничные условия тина закрепленных концов и закрепленного времени. При этом соответствующие условия трансверсальности ис чезают и (снова в подтверждение принципа Лагранжа) оставшиеся соотношения совпадают с необходимыми условияхми минимума функции Лагранжа при ограниче ниях, которые в эту функцию не были включены. Дей ствительно, если, например, h0 — х — х0 (закрепленный левый конец), то первое условие в (6) означает, что р (/„)== /о; если ho = t — а (закрепленный левый момент времени), то первое условие в (8) принимает вид

Ш= — /0 и т. д. Таким образом, множители Ла

гранжа, соответствующие закрепленным концам, сов падают со значениями p(t), а множители Лагранжа, соответствующие закрепленным моментам времени, — со значениями гамильтониана в соответствующих точ

ках и	не		несут	более никакой	информации.	Если
р(/) =	0,	то	и все	эти множители	равны нулю.	Мы не
коснулись		условий,		гарантирующих	неравенство	Яо Ф 0.

Они очень громоздки и обычно проще непосредственно проверить, что Яо Ф 0.

До сих пор мы говорили о задаче с интегральным функционалом. В задаче с терминальным функционалом

Смотрите также файлы

Картирование шельфов сборник статей..pdf

Квитко, М. П. Кислородно-конвертерный процесс.pdf

КМА набирает высоту сборник статей, очерков об освоении Курской магнитной аномалии..pdf

Коган, З. А. Консервация и упаковка машиностроительной продукции.pdf

Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие.pdf

Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно