Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 0
§ 2.4. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГ'ИНА |
149 |
|
ф(/ь x{ti)) |
функция Лагранжа имеет вид |
|
2? = (/01А0 |
*Ш + {hIА|(*„ л(/,))) + |
|
|
+ А,0ф(^, х (tt)) + Jh(/?(/) \х — qp(t, х, |
и)) dt, |
и все соотношения принципа максимума получаются из нее так же, как и в теореме Г. Соответствующее дока зательство ничем, по существу, не отличается от дока зательства принципа максимума для задач с интеграль ными функционалами.
2.4.2. Элементарное доказательство принципа макси мума для задачи со свободным правым концом. Рас смотрим задачу оптимального управления со свобод ным правым концом и закрепленным временем:
« ( • ) ) = J f(t, |
X, и) dt -> inf; |
(9) |
|
*0 |
|
|
|
* = ф (/, |
X, |
и), |
(10) |
U€EU, |
|
(11) |
|
X ( t 0) = |
x0. |
|
(12) |
Принцип максимума для такой задачи доказывается совсем просто, если предположить, что оптимальное уп равление кусочно-непрерывно.
Прежде всего выясним, что мы должны доказать. Пусть управляемый процесс (x*(t) , w*(f)) оптимален, причем управление «*(/) кусочно-непрерывно. Тогда по теореме 1 должны существовать не равные одновремен
но нулю число 70 0 и вектор-функция p(t) |
такие, |
что |
||||
а) вектор-функция |
p(t) |
удовлетворяет |
дифферен |
|||
циальному уравнению |
(5) |
и второму |
краевому условию |
|||
в (6), принимающему в данном случае вид |
|
|
||||
|
Р(*д = |
0; |
|
|
(13) |
|
б) почти при всех |
t |
выполнено |
соотношение |
(7). |
||
Если бы Хо равнялось нулю, то p(t) была |
бы реше |
|||||
нием уравнения |
|
|
|
|
|
|
i f О '
Р = — Ф*(^> *.(0, ut (t))p |
(14) |
150 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ
Сусловиями (13), т. е. p(t) должна была бы тождест венно равняться нулю. Поэтому случай Яо = 0 исклю чается, и без ограничения общности можно считать, что
/•и — 1- Таким образом, нам нужно проверить, что ра венство
(Р « ! Ф(t, х, |
(/), и. (/))) - |
f (/, |
лс. (0, |
и, (/)) = |
|
|
|
= |
тах[(р(/) |ф (/, |
x,(t), |
u)) — f(t, |
*.(/), «)] |
(15) |
||
|
iK^U |
|
|
|
|
|
|
выполняется почти всюду на [/о, Л], |
если |
p { t ) — реше |
|||||
ние сопряженного уравнения |
|
|
|
|
|||
Р = — ф* U, х, (0, |
и. (/)) P + |
fx (/, х, (t), и.(0) |
(16) |
||||
с конечным условием p(t\) = 0. |
|
выполняется в каж |
|||||
Л\ы докажем, что равенство (15) |
|||||||
дой точке непрерывности управления и*(/), принадлежа
па |
щей |
интервалу |
(t0, ti). |
|
|
Доказательство |
осно |
||
|
вано |
на |
непосред |
|
|
ственном |
применении |
||
|
«игольчатых» . вариа |
|||
|
ций |
управления |
»*(/) |
|
|
п, по существу, пред |
|||
|
ставляет |
собой |
моди |
|
|
фикацию |
доказатель |
||
|
ства |
условия |
Вейер- |
|
|
|
|
|
|
штрасса, |
которое |
было |
|||
Итак, пусть |
т — точка |
изложено |
в |
§ 2.2. |
||||||
непрерывности |
управления |
|||||||||
«*(/). Зафиксируем некоторый элемент |
|
|
и |
рас |
||||||
смотрим управление |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и (/; т, Я) = |
их (t) = |
u,(t), |
если |
t ф.[х — Я, |
т), |
(17) |
||||
и, |
|
если |
1 е [ т — Я, |
т) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
— игольчатую |
вариацию |
|
управления |
м»(/) |
(рис. 7). |
|||||
Обозначим |
через x\(t) = |
x(t; т, Я) |
решение уравнения |
|||||||
(10) с начальными |
условиями (12), соответствующее |
|||||||||
управлению |
ux(t). |
По |
условию |
X\(t) — x*(t), |
если |
|||||
— Я. |
Кроме того, поскольку |
задача |
Коши |
|||||||
§ 2.4. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА |
151 |
Для уравнения
X = ф (t, X, 1>)
разрешима в окрестности точки (т, лс*{т)), вектор-функ ция xk(t) определена и на отрезке [т — X, т], если X до статочно мало.
Коль скоро управление ы*(0 непрерывно в точке т, оно непрерывно и в некоторой ее ^-окрестности. Поэто
му и Xz(t) непрерывна в этой |
окрестности и, следова |
||
тельно, |
|
|
|
** (т) = |
X' (т — к) + |
Хх, (т — X) + |
о (X) = |
= |
xt (т — X) + |
А,ф(т — X, х„ (т — X), и,(х — X)) -(- о (X). |
|
Точно так же
xk( x ) = x t (т — X) + Яф(т — X, Х ' ( т — Х), v) +о(А).
Отсюда следует, что предел
Х 1 (т) — А, (т)
у(т) == lim
л^ о
существует и равен
г/(т) = ф(т, xf (x), v )— ф(т, .г,(т), u , ( t )). |
(18) |
На отрезке [т, t\)I иих*(. (-•), , ииххлгх(-()-) удовлетворяют урав нению
х = q>(t, х, н,(0)-
Из теоремы о непрерывности и дифференцируемости решения дифференциального уравнения по начальным данным следует, что при достаточно малых X > 0 век тор-функции xk(t) определены на [т, Л], сходятся равно мерно к х*(/) и предел
|
|
y{t) = lim |
хк(0 — X, (t) |
|
||
|
|
|
_ |
|
||
|
|
к+ о |
|
|
|
|
существует при |
всяком / е |
[т, ^]. Имеем при t > т |
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
Xl(t) = |
Xk{x )+ |
J ф(5, |
xx(s), |
u,(s))ds, |
|
|
|
|
t |
|
|
|
bUJJ |
x, (0 = |
-V. (т) + |
J |
Ф(s, |
X, (s), |
u, (s)) ds, |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
152 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ
так |
что |
|
|
|
^ (0 - *. (О |
|
|
|
|
|
X |
t |
|
|
|
xx ( t ) — X, (т) |
qp(s, хк (S), и, (s)) — ф (s, х„ (s), и, (s)) |
^ |
|
— |
t С |
|||
Я |
+ J |
X |
a s ' |
|
|
|
X |
|
|
Переходя к пределу при А | 0, получаем
t
y(t) = У (т) + J Ф* (s, х. (s), и. ($)) у (s) ds. X
(Переход к пределу под знаком интеграла возможен, поскольку ф непрерывно дифференцируема по х, а u„(t)— ограниченная вектор-функция.) Таким образом,
у{1) есть на [т, решение уравнения
У= ф*0> *„(0» и * ( ( ) ) У
сначальными условиями (18).
Имеем при t ^ т
4 г (Р (О IУ (0) = |
(р (0 I у (0) + (р (0 I у (0) = |
|
|
||||
= - |
(ф; 0, |
(0, |
и. |
(0) р (0 I у (0) + (/, 0, ** (0, н* (0) I у щ + |
|||
+ |
(р (0 1ф, 0, |
*, (0. «, (0) р W) = Их 0. х, (0, |
«. (0) IУ (0), |
||||
т. е. поскольку |
p(/i) = 0, |
|
|
|
|||
|
(р (0 IУ (0) = |
— Jи (f* (S, |
л:, (S). «* («)) IУ (Л) ds■ |
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
В частности, согласно (18) |
|
|
|
||||
(р(т)|ф(т, |
х,(т), |
ы»(т) ) — фЛ> |
**Ы, «)) = |
|
|
||
|
|
|
|
л |
|
|
(19) |
|
|
|
|
= J (Л0. *,0). и,(0) 1р(О) |
|||
|
|
|
|
г |
|
|
|
Далее, поскольку |
(х„ (/), н, (()) — оптимальный |
процесс, |
|||||
|
Пт А"1[ Д М |
■), « * (• ) ) - ■ ? (*.(•), м . ( - ) ) ] > 0 . |
|
||||
|
Я+0 |
|
|
|
|
|
|