Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 179
Скачиваний: 0
158 |
|
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
|
|
|
|
||||||
П р и м е р |
2. С к о л ь з я щ и й |
ре жи м . |
Рассмотрим |
|||||||||
такую задачу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J х- dt -> inf; |
х — |
и, |
! и [ = 1, |
х(0) = |
а, |
*(1) = |
0. |
|
||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |а| |
> |
1, очевидно, |
не существует |
ни |
одного |
до |
||||||
пустимого управляемого |
процесса. |
При |
|сс| = |
1 |
такой |
|||||||
процесс |
единствен |
и |
соответствует |
управлению |
u(t) = |
|||||||
= siVn |
ос. Пусть |
теперь |
ос = 0. Легко |
понять, |
что лю |
|||||||
|
|
|
|
|
бому |
допустимому |
управ |
|||||
|
|
|
|
|
ляемому |
процессу |
соответ |
|||||
|
|
|
|
|
ствует |
положительное |
зна |
|||||
|
|
|
|
|
чение |
функционала. |
Вместе |
|||||
|
|
|
|
|
с тем на последовательно |
|||||||
|
|
|
|
|
сти -МО, x2(t), *з(t).......... |
|||||||
|
|
|
|
|
изображенной |
на |
рис. |
8, |
||||
|
|
|
|
у у функционал стремится к ну |
||||||||
|
Рис. 8. |
|
|
лю. Заметим, что здесь по |
||||||||
|
|
|
следовательность |
фазовых |
||||||||
мерно, а |
|
|
|
|
траекторий |
сходится равно |
||||||
последовательность управлений, |
наоборот, |
ни |
||||||||||
к чему не сходится. Такие последовательности назы ваются скользящими режимами.
Итак, задача не имеет решения. Предлагаем чита телю проверить, что ни один управляемый процесс не
удовлетворяет принципу |
максимума (при |
ос ~ 0 ) . |
|
||||
§ 2.5. Доказательство принципа максимума |
|
||||||
Напомним, что мы рассматриваем |
следующую |
||||||
задачу: |
|
|
|
|
|
|
|
У{ х ( - ) , |
«(•)) = |
[ f(t, |
х, |
и) dt -> inf; |
(1) |
||
|
* = |
ф {t, х, |
и), |
|
|
(2) |
|
|
|
и |
U , |
|
|
|
(3) |
Ло(*о. |
*(*<>)) = |
0, |
hAtu |
*(<■)) = |
<). |
(4) |
|
Мы не можем воспользоваться здесь правилом множи телей Лагранжа из-за ограничений, наложенных на уп равления, и из-за невозможности дифференцирования
%2.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА |
159 |
по и. Наше доказательство опирается на экстремальный принцип для гладко-выпуклых задач. Связь его с зада чей оптимального управления не столь очевидна, как, скажем, связь правила множителей Лагранжа с клас сической задачей Лагранжа, да и вывод принципа мак
симума |
Понтрягипа |
из экстремального |
принципа |
для |
|||
гладко-выпуклых задач требует больших усилий. |
|
||||||
Первым шагом в наших построениях будет редукция |
|||||||
задачи |
(1) — (4) к эквивалентной в некотором смысле |
||||||
гладко-выпуклой задаче. Мы |
сделаем |
это с |
помощью |
||||
предложенного А. Я. Дубовицким и А. А. Милютиным |
|||||||
приема, использующего замену времени. |
|
|
процесс |
||||
2.5.1. |
Редукция задачи. |
Пусть управляемый |
|||||
(х*Н), м*(0). определенный на отрезке [/о*,/и], опти |
|||||||
мален в задаче (1) |
— (4). Выберем |
неотрицательную, |
|||||
ограниченную и измеримую |
на отрезке |
[0, 1] |
функцию |
||||
у, (т), подчиненную условию |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
j |
vt (x)dx = |
tlt— /0„ |
|
|
|
(5) |
|
о |
|
|
|
|
|
|
н положим
т
/= Ч (т ) = /<>.+ |Ч ( £ ) ^ .
о |
(6) |
Д (VJ = (т е [0, 1]|и. (т) > |
0}. |
Зафиксируем далее измеримую г-мерную вектор-функ цию ш*(т), принимающую значения в U и почти всюду на множестве А (и*) удовлетворяющую равенству
W. (т) = И, (/. (т)), |
(7) |
||
Теперь мы можем сформулировать ту редукционную |
|||
задачу, о которой говорилось в начале параграфа: |
|
||
I |
|
|
(8) |
J vf(t, |
у, w, (T))dr->inf; |
||
и |
vcp(t, |
у, w,(т)), |
(9а) |
y' = |
|||
|
t' = |
v, |
(96) |
|
v > 0 , |
(10) |
|
А0(/(О), !/(0)) = 0, |
А,(/( 1), //(!)) = 0 |
(11) |
|
К И Ш |
|
|
|
(штрихами обозначены производные по т),
160 |
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
Это тоже задача оптимального управления, и управ ляющим параметром в ней служит скаляр и. В каче стве допустимых управлений в этой задаче мы будем брать всевозможные неотрицательные, ограниченные и измеримые функции v(x), каждая из которых обра щается в нуль на одном пз
множеств
вида (6). Пусть функция чена и измерима на отре
Л* = {т<=[0, 1]Цш,(т)|>/г)
(fe = 0, 1, . . . ) |
■ |
(своем для каждой функ ции). Множество таких функций обозначим бук вой Т.
Положим
У. (*) = х, (t, (т)),
где /*(т) определяется фор
мулой |
(6). |
|
1. |
|
|
|
Л е м м а |
|
Управляе |
||||
мый |
процесс |
(/*(т), |
г/*(т), |
|||
и*(т)) допустим |
в |
задаче |
||||
(8) — (11) и |
доставляет ей |
|||||
локальный минимум. |
|
|||||
Для |
доказательства лем |
|||||
мы |
нужно |
более |
подробно |
|||
рассмотреть |
преобразования |
|||||
(т) неотрицательна, |
огранн- |
|||||
е [0,1] |
(рис. |
|
9,а). |
Положим |
||
t ( T) = t(0) + |
J y(n) dr\, |
|
о |
А( ц ) ={ т <=[0, |
1]| а (т) > 0}. |
Функция /(т) непрерывна и не убывает. Обратная функция тоже не убывает, но может, вообще говоря, иметь разрывы первого рода в не более чем счетном множестве точек |2, ... (рис. 9,6). Положим для определенности
т(/) — min (т е [0, 1]Щт) = Л, если /=^/(1), т ( / ( 1) ) =1 .
. § 2.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА |
161 |
П р е д л о ж е н и е 1. Справедливы следующие ра венства:
* (*(£)) = £ при всех |€=[/(0), *(1)],
'г(^('п)) = т1 почти при всех г )еА (и ).
При этом |
х (/)е /\ (и ) |
почти |
всюду на |
отрезке |
||
[/(0),/(1)]. |
|
|
Первое |
равенство следует |
из |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||
определения |
функции |
т (/) и непрерывности |
функции |
|||
^(т). Далее, |
т ( / (ri)) = |
тр если г) |
не принадлежит объе |
|||
динению полуинтервалов |
(т (g& — 0) , т (|й+ |
0)]. |
На |
|||
каждом из этих полуинтервалов функция t{r) |
постоянна |
|||||
и равна Ik, т. |
е. пересечение А(п) П (т(|/, — 0), т (^ + 0)] |
|||||
имеет меру нуль. Отсюда следует второе равенство. На конец, поскольку функция /(т) монотонна, мера образа каждого измеримого множества Дсп[0,1] равна
J v{x)dx,
д
т. е., в частности, образ множества Д(и) имеет полную меру в [/(0), /(1)]. Отсюда следует последнее утверж дение.
П р е д л о ж е н и е 2. Пусть функции z{t) на
[/(0), /(1)] и ш(т) на [0, 1] измеримы и
|
|
z(t (x)) = w(x) |
|
|
||
почти при всех т е Д ( о ) . |
Тогда, |
если i = t(т), то |
|
|||
|t |
г{%) di = |
Т Jv (r|) |
w (л) |
dx\, |
|
|
t(0) |
|
|
о |
|
|
|
если эти интегралы имеют смысл. |
|
|
||||
Доказательство следует из очевидной выкладки |
|
|||||
Нх) |
х |
|
|
х |
|
|
J 2 (|) d%= |
| 2 (/ (rj)) d (t (ri)) = | |
v (ti) w (г]) dx\. |
|
|||
t (0 ) |
0 |
|
|
0 |
|
|
П р е д л о ж е н и е |
3. |
Пусть |
x(t) — определенное |
на |
||
[/(0 ),/(l)] решение |
уравнения |
(2), |
соответствующее |
|||
допустимому управлению |
«(/). |
Если |
у(х) = x(t (x)) |
и |
||
6 А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров