Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 183
Скачиваний: 0
|
|
' § |
2.5. |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО |
ПРИНЦИПА МАКСИМУМА |
167 |
|||
для |
всех |
у (■) е |
Wl, г, |
|
|
|
|||
^(.)1(')= Vo IАо/)I(0) + (/,IЛ„)Id) + |
|
||||||||
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
(19) |
|
|
|
|
J[s(t)!'(t) — vt {х) Ht (x)l(x)]dx = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
для |
всех |
|( |
•) е |
! и |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (v (т) — v, (т)) (Я + |
s) dx ^ 0 |
(20) |
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
для |
всех |
и( |
•) е |
|
второе |
подынтегральное |
сла |
||
Интегрируя по частям |
|||||||||
гаемое |
в (18) |
иполагая £/(!) = £/ (0) -+- J y'(x)dx, |
полу- |
||||||
h U о + |
h\xh - |
J и, (т) Нх dx\y(0)\ + |
|
||||||
^ |
|
|
|
|
о |
|
/ |
(ri) Нх dr\ Iу' w) dx = 0 |
|
|
|
|
+ | ^ (т) + huh — J V, |
||||||
для всех г/( ■) е IF?, ь Это означает, что
1
/го*/о + Au/i — j У. (т) Нх dx = 0,
о
1
q(x) + huh — J о. (л) Нх dx\= 0 почти везде. -t
Изменяя, если нужно, q{x) на множестве меры нуль, получаем отсюда, что ^(т) абсолютно непрерывна и удовлетворяет всем условиям, сформулированным в ут верждении а) доказываемой леммы.
Таким же образом из (19) следует утверждение б). Осталось проверить, что утверждение в) вытекает из (20). Действительно, если, например, Я + 5> 0 во всех
168 |
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
точках имеющего положительную меру подмножества множества А (и*), то полагая в этих точках п(т) —
.= 2и*(т), а в остальных у (т) = у*(т), получаем
1
J (я М — v, (т)) (Я + s) dx > О
о
в противоречии с (20). Столь же просто доказывается
нвторое соотношение в условии в). Лемма доказана.
2.5.3.Завершение доказательства принципа макси мума. Положим
T,(0 = |
min{T€=[0, 1]|*,(т) = *], |
||
/>(0 = |
? ( т, (0)> |
r(f) = s(T.(/)). |
|
Согласно предложению 1 |
|
|
|
Р iK(т))= Я(т)> |
Г (tt (т)) = s (т) |
||
почти при всех t e A ( o J . |
|
и p(t), получаем в |
|
Применяя предложение 3 к д(т) |
|||
силу утверждения а) леммы 2, что |
p(t) удовлетворяет |
||
дифференциальному уравнению |
|
||
p = — Hx {t, x,(t), u,(t), |
р, АД |
||
и граничным условиям
р (to,)=== fhu (t(J'> х* (to.))/„,
p (^u) == hix (ti*> x* (ti>)) l\’
Этим доказывается первое утверждение в формули ровке принципа максимума.
Точно так же r(t) удовлетворяет дифференциальному
уравнению |
|
|
АД |
(21) |
r = ~ H |
t (t, x,(t), |
u,(t), p(t), |
||
л граничным условиям |
|
|
|
|
Г(0) = |
(hot (t0i, xt (t0t))\lo), |
1 |
|
|
r(l) = |
-(A »(*i., |
jc.(/i.))|/.). |
J |
( ’ |
До сих пор нас не интересовал конкретный вид функ ций у*(т) и да*(т), лишь бы выполнялись равенства (6)
§ 2.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА |
169 |
и (7), оставляющие, разумеется, большую свободу вы бора этих функций. Предположим теперь, что о,(т) об
ращается в нуль |
на системе |
(замкнутых справа) полу |
интервалов / л = |
( т а , т а + Р а ], |
k = \ , 2, ... , устроенной |
таким образом, что образ их объединения при отобра
жении x-*t*(x) |
плотен в [/0*, /.*]• |
|
|
|
|||
Вот один из способов построения такой функции. |
|||||||
Пусть {£ь £г. •••} — счетное плотное |
подмножество |
от |
|||||
резка -[/о*,/и]. |
Выберем |
числа |
Pi > |
0, р2 > 0, ... |
так, |
||
чтобы 2 Р а = |
1/2. |
П о л о ж и м |
|
|
|
|
|
|
* |
. . . Л к |
<0. |
I |
V I |
р |
|
|
2 (#i. — /о*) |
^ |
Z l Plt |
|
|||
причем суммирование справа ведется лишь по тем ин дексам г, при которых h < l k - Тогда полуинтервалы Ik = (г*, xk + pfe] попарно не пересекаются. Пусть теперь
|
|
|
|
|
|
|
0 |
, |
если |
т е |
1к, |
|
|
||
|
|
|
V |
(т) ‘ |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (/и — /<ь), |
если |
T<£(J/ft. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
Проверим, что образ объединения |
(J Ik при отображе |
||||||||||||||
нии |
т —> /ф(т) |
плотен |
в [to,, |
4»] |
(равенство |
/„ (1) = |
4« |
||||||||
здесь |
очевидно). |
Для |
этого |
достаточно |
убедиться, |
что |
|||||||||
tM(т) = |
|/е для всякого |
т е Ik. |
Заметим, |
что тг < |
xk тогда |
||||||||||
и только тогда, |
когда |
h < l k |
|
и /, ( * ) = /, (Tft) |
Для всех |
||||||||||
х е |
/ а. |
Имеем при t e / t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
(т) = |
to* + |
XJ |
о. (л) dr\= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= /о» + |
2 ( / ь — to,) lxk — |
|
2 |
Рг') = |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
Х1< ТА |
/ |
|
|
||
|
|
|
= |
/o, + |
2 ( / i * — /о») (^к — |
h < h |
рл = |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
I |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
— 4* + |
(4* — /о*) у ft ~ 4» |
Sft» |
||||||
что и требовалось. |
|
|
|
|
|
|
|
1* ~ '0. |
|
||||||
теперь, что |
|
каждый |
полуинтервал |
4, |
|||||||||||
|
Предположим |
|
|||||||||||||
есть объединение счетного множества замкнутых справа
170 |
ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ |
|
непустых |
полуинтервалов |
lhu Ik2, .... {ии и2, ...} — |
счетное плотное подмножество множества U и вектор- |
||
функция до*(т) выбрана так, |
что |
|
®Лх) = Щ, если т е / н .
Всилу неравенства в утверждении в) леммы 2
Н(t, (т), у. (т), w. (т), q (т), Я0) + s ( т ) < 0
почти всюду на объединении U /*. Всякий полуинтервал 1М имеет положительную меру (ведь он не пуст по условию). Поэтому для каждых k и i найдется такое т е fhi, что
Я ( М Т)> У Л Х)> w . (т)> <7(т)» ^o) + s (t) =
= н (1к. *. (Ы, и„ р (U), К) + 7(Ы < 0.
Так как точки |ь ••• образуют плотное подмноже ство отрезка [<0*, 4*], векторы их, и2, . . . — плотное подмножество множества U и функция (t,u)--* х (t),u, p(t) До) непрерывна, отсюда следует, что
|
Н (t, х. (t), |
и, |
р (/), A,j) -f г (0 < 0 |
(23) |
для всех t е |
[/о*, Л*], « е |
V. |
лем |
|
С другой |
стороны, |
равенство в утверждении в) |
||
мы 2 в силу предложения 1 влечет почти при всех t равенство
Н (t, х, (t), |
и. (/), |
р (t), |
Я0) + |
г (/) = |
0. |
(24) |
Поэтому почти при всех t |
|
|
|
|
|
|
H(t, х, (/), и.ф, p{t), |
Я0) = |
|
|
|
|
|
= max H {t, x. (/), и, |
p(t), |
kQ) = |
3%(t, |
x, (t), |
p(t), |
Я3). (25) |
u<=U |
|
|
|
|
|
|
Этим доказывается второе утверждение в формулировке
принципа максимума. |
и функция |
Поскольку управление «»(/) ограничено |
|
(t, и )-* H(t, х# (/), и, p(t), Я0) непрерывна, из |
(24) сле |
дует, что |
|
% ( t , х , ( t ) , p ( t ) , Яо) + г(*) = 0. |
(26) |