Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 184

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

171

Но r(t)— непрерывная функция. Поэтому непрерывна н функция t - +M( t , **(0> Р(0> ^о)- Сравнивая (26) с (22),

получаем

Ж (to,,

х , (to,),

р (to,),

Аа) =

(hot (to,, х , (to,)) | to),

M(tu,

x,(tu),

p(tu),

Я0) =

(/гц(^ь, x, (ti*)) I /i).

Наконец, из (21) и (24) следует (8а) из § 2.4. Прин­ цип максимума Понтрягина полностью доказан.

Комментарий к гл. 2. К § 2.2. Вариационное исчисление изложе­ но во многих монографиях и учебниках: Адамар [1], Ахиезер [1], Больца [1], Гельфанд и Фомин [1], Каратеодори [2], Курант и Гиль­ берт [1], Лаврентьев и Люстерник [1], [2] и др.

К § 2.3. Подробный обзор работ о задачах вариационного исчис­ ления с ограничениями содержится в книге Блисса [1]. О многомер­ ных задачах см. монографии Морри [1] и Клотцлера [1].

К §§ 2.4—2.5. Принцип максимума Понтрягина был выдвинут в 1956 году, и это заложило основы теории оптимального управле­ ния. Из работ раннего периода упомянем статьи Гамкрелидзе [1], [2] и обзорную статью Понтрягина [1]. Итоги этих исследований были подведены в монографии Понтрягина, Болтянского, Гамкрелидзе и Мищенко [1].

Первое доказательство (Болтянский [1]) принципа максимума было усовершенствовано Розоноэром [1] и Егоровым [2]. Дубовицкий и Милютин [2] и Халкин [4] предложили доказательства, основанные на новых идеях. В книге мы трижды возвращаемся к доказательству принципа максимума. В § 2.4 мы следуем Понтрягину [I], в § 2.5 — Дубовицкому и Милютину [2]. Третье доказательство (в гл. 5) свя­ зано с идеями Халкина.

Укажем еще руководства и монографии по оптимальному управ­ лению: Беллчан, Гликсберг, Гросс [1], Болтянский [4], Брайсон и Хо Ю-ши [1], Красовский [3], Кротов и Гурман [1], Ли и Маркус [1], Хестепс [3], Янг [2] и др.

ь

Г л а в а 3

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

В этой главе изучаются свойства выпуклых множеств и функ­ ций, характеризующие их устройство «в целом». Основные резуль­ таты связаны с возможностью двойственного описания выпуклых множеств и функций, следующей из теорем отделимости (§ 3.1), В дальнейшем наиболее важны теорема о непрерывности выпуклых функций (§ 3.2), теорема Фенхеля — Моро (§ 3.3), теоремы двой­ ственности (§ 3.4) и теорема Каратеодори (§ 3.5). Остальные ре­ зультаты при первом чтении можно опустить. На протяжении всей главы, за исключением специально оговариваемых случаев, предпо­

лагается,

что X, У, ... — отделимые

локально выпуклые про­

странства.

Материал этой и следующей

глав опирается только на

§0.1 и § 0.3.

§3.1. Выпуклые множества и теоремы отделимости

3.1.1.Определения и элементарные свойства. В § 0.3

мы уже ввели определения выпуклого множества и конуса. Непосредственно из первого определения сле­ дует, что

а) сумма (алгебраическая) конечного числа выпук­ лых множеств — выпуклое множество;

б) пересечение любого семейства выпуклых мно­

жеств — выпуклое множество; в) декартово произведение выпуклых множеств —

выпуклое множество, т. е. если X = Х\ X •••X %п, At — выпуклые подмножества пространств Xt соответственно,

то

А = Ai X •••X А „ — выпуклое подмножество

про­

странства X ;

 

 

 

 

г) образ и прообраз выпуклого множества при линей­

ном

отображении — выпуклые

множества, т.

е.

если

A: X - + Y — линейный

оператор,

А — выпуклое

подмно­

жество пространства

X и В — выпуклое подмножество

пространства Y, то множества Л(А) и Л-1 (В) выпуклы.

В дальнейшем нам удобнее использовать для обозна­ чения образа и прообраза множеств при линейном ото­ бражении специальные символы. Именно, образ мно-

§ 3.1. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА

173

жества А будем обозначать через АЛ

(а не

Л(Л)), а

прообраз множества В — через ВА (а

не А-1 (В)).

Пусть Л с X. Пересечение всех выпуклых

множеств,

содержащих множество Л, есть выпуклое подмноже­ ство пространства X, называемое выпуклой оболочкой множества Л и обозначаемое через сопуЛ. Пересечение всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих мно­ жество Л, есть замкнутое выпуклое подмножество про­ странства X, называемое выпуклым замыканием множе­

ства Л н обозначаемое через conv Л. Пересечение всех выпуклых конусов, содержащих множество Л и начало координат, есть выпуклый конус, называемый (выпук­ лым) конусом, порожденным множеством А, и обозна­ чаемый К а ■ Пересечение всех линейных подпространств, содержащих множество Л, называется линейной оболоч­

кой

множества Л

и обозначается

ПпЛ.

Очевидно,

что

Пп А = К а — Х а -

х„} — конечный набор точек

из X,

то

 

Если {хи ... ,

всякая точка х ^

X, представимая в виде

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

х =

2 а д ,

 

 

 

 

 

 

 

 

i=i

 

 

 

 

где

а,-^0, i = l .........п,

S

ai = l .

называется

выпук­

лой

комбинацией

точек

х и ... , х п.

Если

Л — выпуклое

множество, то из определения сразу следует, что всякая выпуклая комбинация любого конечного набора его точек принадлежит множеству Л.

П р е д л о ж е н и е 1. Выпуклая оболочка множества А совпадает с совокупностью всех выпуклых комбина­ ций точек из А.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Непосредственно проверяется, что совокупность всех выпуклых комбинаций точек множества Л есть выпуклое множество. С другой сто­ роны, всякое выпуклое множество, содержащее Л, со­ держит выпуклые комбинации своих точек, в частности, точек множества Л.

П р е д л о ж е н и е

2.

Замыкание выпуклой оболочки

множества А совпадает

с его

выпуклым

замыканием:

с о п у Л

=

с о п у Л .

т в о. Согласно предыдущему пред­

Д о

к а з а т е л ь с

ложению,

всякое

замкнутое

выпуклое

множество,

174

ГЛ.

3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО

АНАЛИЗА

содержащее Л,

содержит и conv/l и,

значит, сопуЛ. Все

следует теперь из определений и предложения 4, приво­ димого ниже.

П р е д л о ж е н и е 3. Конус, порожденный множе­ ством А, совпадает с конусом, порожденным множе­

ством сопуЛ.

Если же А — выпуклое множество, то

Кa — U

ЯЛ =

{х е

X \х =

Xz, X^ 0, г е Л ) .

Доказательство

очевидно.

A cz X — выпуклое мно­

П р е д л о ж е н и е 4.

Пусть

жество.

Тогда его

внутренность

int Л и замыкание А

выпуклы.

Если Xi е

int Л и

Л,

то все точки отрезка

[jcj, х2], за исключением, быть может, точки х2, принадле­

жат

множеству int Л. В

частности, если

int Л ф

0 , то

А =

int Л и int А =

int Л.

Пусть

x ^ e i n M

 

и

л2е Л .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Пусть U — окрестность точки

xi,

содержащаяся

в А, и

x =

a X i + ( l — а ) х 2,

0 < а < 1 .

Тогда

а £ / + ( 1 — а) х2

есть

окрестность

точки

х, лежащая

в

Л.

Поэтому

х е

int Л.

Отсюда

также

следует,

что внутренность вы­

пуклого

множества

выпукла.

и х2 из А. Пусть

 

Рассмотрим далее точки Xi

 

 

 

х = ах I — (1 — а)х2,

0 < a < 1.

 

 

 

Возьмем выпуклую окрестность нуля U. Из

 

следует,

что (х, +

U) П Л Ф 0 , / = 1 , 2 .

Выберем х\ е ( х ( +

1У)ПЛ

и пусть

х' =

си;{ +

(1 — а)х'2.

Тогда

 

 

 

 

+ (\— а) (х2+

U) =

х +

U. Мы

получили,

что

каждая

окрестность точки х

пересекается с Л, т.

е.

л

е !

Таким

образом, замыкание выпуклого множества выпукло. Предложение доказано.

3.1.2. Отделимость. В § 0.1 мы сформулировали тео­ рему отделимости, утверждающую, что два непересекающихся выпуклых множества, одно из которых имеет непустую внутренность, можно разделить ненулевым ли­ нейным непрерывным функционалом. С помощью пред­ ложения 4 можно получить некоторое усиление этой

теоремы.

отделимости).

Пусть

Т е о р е м а 1 (первая теорема

А и В — выпуклые подмножества

пространства

X, и

§ 3.1. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА

175

внутренность одного из них, например А, не пуста. Тогда А и В можно разделить ненулевым линейным непрерыв­ ным функционалом в том и только том случае, когда

(int Л)П В =

0 .

Пусть ( т М ) П В = 0 .

Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о .

по теореме

отделимости

существует ненулевой

функ­

ционал т*еА '*, разделяющий множества iriM и В, т. е. такой, что {х*, х) (х*, у) для всех . v e in M , у ^ В .

В силу предложения 4 A ciint Л. Поскольку функционал х* непрерывен, получаем, что

 

(**,

*)<(**> у)

(1)

для всех т е Л ,

у е В,

т. е. функционал

х* разделяет

множества Л и В.

теперь,

что функционал

х * ^ Х разде­

Предположим

ляет множества Л и В, т. е. справедливо соотношение

(1). Если бы нашлись точки x r e i n M

и у е В такие, что

{х*, х) = {х*, у), то, поскольку х* ф 0,

в любой окрестно­

сти точки х и, следовательно, в Л можно было бы ука­

зать точку Х\ таким образом,

что {х*, х ]) > { х * , у)

в про­

тиворечии с предположением.

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

(*’, х) < (х\ у)

 

 

 

 

для

всех

x e i n t Л, у е

В. А

это означает,

что

множе­

ства int Л

и В не могут пересекаться. Теорема доказана.

Скажем, что линейный функционал

х * ^ Х

сильно

разделяет множества Л и В, если

 

 

 

 

 

 

 

 

(х\ х) < {х\ у) — е

 

 

 

для

всех

д :еЛ , у ^ В

и некоторого е >

О,

или,

что то

же,

если

sup (**, * )< ; inf (.**,

у ) — е

 

 

 

 

 

 

 

 

х е А

 

у е В

 

 

 

 

при некотором е >

0.

 

теорема

отделимости).

 

Т е о р е м а

2

(вторая

Пусть

А — замкнутое

выпуклое

подмножество

пространства X

и хф. А.

Тогда

существует функционал

т * е Д ,

сильно

разделяющий А и х.

 

Множество 1 \ Л

открыто и

Д о к а з а т е л ь с т в о .

содержит х. Поэтому найдется такая выпуклая окрест­ ность нуля U, что х + U с : X \ Л, т. е. (х - f U) Л Л = 0 .

176

ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА

По теореме отделимости множества х + U и А можно разделить ненулевым линейным функционалом л' ё Х,

 

<**, У) <

х) + (х\

z)

для всех у е

A, z ^ U . Поскольку х* ф О,

 

— г —

inf (х\ z} <

0.

Поэтому

 

г с= и

 

{х\ ? / } < ( * ’ , х ) — г

 

для всех у е

А, что и требовалось.

3.1.1 и теорема 1

Отметим,

что все результаты п.

справедливы для произвольных линейных топологиче­ ских пространств. Наоборот, теорема 2 верна только в локально выпуклых пространствах. Разъясним геометри­

ческую природу отделимости.

Введем следующие

Пусть i ’

e f ,

х* Ф 0,

a e R .

обозначения:

 

 

 

 

Н {х’ , а) = {х <= X |{х\ х) = а},

 

Н+ (х\

а) = { х е ^ | (**, х) < а},

 

Н~ {х*, а) = {х <= X |(х\ х) > а}.

Множество

Н(х*,а)

есть

замкнутее

линейное многооб­

разие коразмерности единица. С другой стороны, след­ ствие 2 из теоремы Хана — Банаха показывает, что вся­ кая замкнутая гиперплоскость в X есть множество уровня некоторого ненулевого функционала. Поэтому замкну­ тые гиперплоскости в X суть в точности множества вида Н(х*,а), где х* ф 0. При этом элементы х* и а, задаю­ щие гиперплоскость, определены с точностью до множи­

теля, отличного от нуля.

называются

полу­

Множества Н+(х*,а) и Н~(х*,а)

пространствами.

Полупространства

Н+(х*, а)

и

Н~(х*,а) называются (противоположными) полупро­ странствами, порожденными гиперплоскостью Н —

=Н(х*,а).

Пусть теперь функционал х* е X, х* ф 0 разделяет

множества А и В. Это значит, что существует такое чис­

Смотрите также файлы