Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Наконец, если /(*,,„)-»■ со для некоторого номера г, то,

Предложение 2 доказано.

Г л а в а 4

ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

Эта глава посвящена систематическому изучению субдиффереициалов. Субдифференциалы характеризуют локальное поведение выпуклых функций и функций, локально устроенных как выпуклые, подобно тому, как производные определяют локальное поведение гладких функций. И на самом деле, между «субдифференциальным исчислением», с одной стороны, и дифференциальным исчислением гладких функции, с другой, существует глубокая связь, хотя некото­ рые результаты о субдифференциалах и не имеют аналогов в диффе­ ренциальном исчислении. Практически все результаты этой главы существенно используются в дальнейшем; отметим важнейшие из них — теорему Моро — Рокафеллара и теорему об очистке (§ 4.2). Всюду в этой главе, как и в предыдущей, предполагается, что X, У, ... — отделимые локально выпуклые линейные топологические пространства.

§ 4.1. Однородные функции и производные по направлениям

f(kx) = kaf(x)

для всех х е ! Д > 0 . У нас в книге будут встречаться, главным образом, положительно однородные функции степени единица, для краткости будем называть их про­ сто однородными. Очевидно, надграфик однородной функции — конус. Поэтому однородная функция вполне определяется своими значениями в сколь угодно малой окрестности нуля. Вспоминая условие выпуклости ко­ нуса (§ 0.3), немедленно получаем, что однородная соб­ ственная функция / выпукла тогда и только тогда, когда

f{x) + f {У) > f ( x + у)

для всех х, у е Хк

опорная функция и функция Минковского. Их однород­ ность проверяется непосредственно. Более существенно то обстоятельство, что всякая собственная замкнутая выпуклая однородная функция есть опорная функция некоторого непустого множества.

А = [х9е= X* |/ (х) > (х\ х>, Vx е= X]

ипокажем, что

/(х) = sup (х*, х') = s (х |А).

ность между собственными замкнутыми выпуклыми од­ нородными функциями на X и непустыми замкнутыми выпуклыми подмножествами пространства X*. Именно, это соответствие относит каждому непустому замкну­ тому выпуклому множеству Л cr X* его опорную функ­ цию, а каждой собственной замкнутой выпуклой одно­ родной функции — эффективное множество функции, сопряженной с ней.

Отметим еще одно полезное свойство однородных функций.

П р е д л о ж е н и е 2. Пусть f — однородная функ­ ция на X. Если f непрерывна во всех точках множества U czX, то она непрерывна и во всех точках конуса Ки,

2Т4 ГЛ, 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

порожденного множеством U, за исключением, возмож­ но, нуля. В частности, если f непрерывна в некоторой окрестности нуля, то f непрерывна на X.

точки Хх0, во всех точках которой выполнено неравен­ ство | /(х )^ f(Xx0) |< Хг. Тогда ( 1 Д) Е— окрестность точки х0 и при лге(1Д ) V

I f { x ) — f {х0) |= Я-1 1/ (Хх) — f (XxQ) I < е.

Отсюда следует, что / непрерывна в точке х$. Если же / непрерывна в окрестности начала, то по доказанному f непрерывна всюду, за исключением, возможно, нуля. Но в нуле / непрерывна по условию. Предложение доказано.

4.1.2.Производные по направлениям. Пусть f —

функция на X и | f(x)| < oo . Если существует конечный или бесконечный предел

ЗьФП Л

то он называется производной функции f по направле­ нию у в точке х. Если в точке х функция f имеет произ­ водные по каждому направлению, то простая выкладка

функция называется производной функции f по направ­ лениям.

Отличительной особенностью выпуклых функций яв­ ляется существование производных по направлениям во всех точках их эффективных множеств. Мы покажем сначала это для выпуклых функций на прямой, а затем

Отсюда следуют два соотношения:

ф (У — Ф {h) < т}^77 [*Р (*з) — Ф (*,)].

А

при убывании Я к нулю не возрастает (если t—крайняя

тивному множеству. Поэтому правая производная ф^ (0) существует. Однако по определению ф^ (0) = /'(х ; у). Предложение доказано.