Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл (14,79Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 200

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

206	ГЛ, 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

Мы уже отмечали, что производная по направле ниям — однородная функция. Если f выпукла, то про стая выкладка

f'{x; у +	г) = Пт П 1 ± ( Ы Ш			^ 1 Ж <
	Но
< U	r n	+	+	= Y {х. у) + Y {х. г)
ПО		л

показывает, что ее производная по направлениям тоже

выпукла.		4.	Пусть f — собственная выпук
П р е д л о ж е н и е
лая функция	на X,	непрерывная		в точках	множества
U cz X. Тогда,	если	для	некоторого		такого, что
х-\- l e t / , производная			f'(x\x)	конечна,	то функция

f'(x\ •) непрерывна во всех точках конуса Ки-х, порож денного множеством U — х, за исключением, возможно, начала координат. Если же f непрерывна в точке х, то производная по направлениям f'(x; •) конечна и непре рывна на X.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу предложения 2 нам нужно проверить, что функция f ' ( x ; •) непрерывна во


всех	точках		множества		U — х.			Покажем сначала,			что
f ' ( x ;	•) — собственная			функция. Так					как	\f'(x\ic) \|<	оо,
то	x e d o m / .		Поэтому		f ' ( x ; у) ^				f ( x +	у) — f (-*0	для
всех	у	(предложение		3).	Предположим, что f'(x-,X{)_—
■= — оо		в некоторой		точке		Х\ е		X.	Поскольку х		х < =
e i nt ( domf )			(теорема	1	из	§	3.2),		для	достаточно	ма
лого е >		О точка х + ( х +			е ( х		— x t) ) = х			+ х 2 принадле

жит множеству dom f. По неравенству Иенсена для вся кого X > О

/ {х + Хх) ^	д е" / (х + Хх2) + j д.' —/ (х + ^*i)>
откуда следует,	что
П*;	+ 7Т7 ^ (лг; Xl)== — °°

в противоречии с условием. (Заметим, что f'(x-,x2) < оо, поскольку x + x2e d o m f . ) Таким образом, наше пред положение было ошибочным и f'(x\ •) — собственная функция,

§ 4.2. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

207

Если Xi ^ lU — х, то f ограничена сверху некоторым числом с в достаточно малой окрестности V точки х-\-х\. Поэтому для всякого у е У — х выполнено неравенство

/ ' ( * ; l / X f ( x + y ) — f ( x ) ^ c — f(x),

т. е. f'(x\ •) конечна и ограничена на V — х и, следова тельно, по теореме 1 из § 3.2 непрерывна в точке хц Этим завершается доказательство первой части пред ложения.

Для доказательства второй части достаточно заме тить, что, если f непрерывна в нуле, то (из-за выпукло сти) она непрерывна в некоторой окрестности нуля, и применить снова предложение 2.

§4.2. Субдифференциал. Основные теоремы

4.2.1.Определения и элементарные свойства. В § 0.3

субдифференциал выпуклой функции f в точке х опре делялся следующим образом:

df (х) = (х* <= X* |/ (г) — / (х) ^ (х*, z — х), V z e l ) .

Этот параграф мы начнем с другого определения, при годного не только для выпуклых функций, но совпадаю щего с первоначальным в случае, когда функция вы пукла.

Пусть / — однородная функция на X. Субдифферен~ циалом функции f в нуле называется эффективное мно жество сопряженной функции /*. Оно обозначается df(0). В силу предложения 1 из § 4.1

df (0) = (х* е Г \| / (х) >	<х*, х), Vx g I } .
З а м е ч а н и е . Функционал	х* е X* такой, что
/ (х) ^ (х*, х),	Vx е X,

называют иногда опорным функционалом однородной функции f(x). Таким образом, д[(0) — множество всех функционалов х*, опорных к однородной функции f{x).

Точно так же, если g — однородная функция на X*, то множество

208	ГЛ, 4. л о к а л ь н ы й в ы п у к л ы й а н а л и з

называется субдифференциалом функции g в нуле.

Пусть теперь f — функция на X, имеющая производную по направлениям в точке х. Множество

df(x) = df'(x; 0)

называется субдифференциалом функции f в точке х. Элементы этого множества называются субградиентами функции f в точке х. Говорят, что функция / субдиф ференцируема в точке х, если д Ц х ) Ф 0 .

Как следует из доказываемого ниже утверждения, для выпуклых функций это определение субдифферен циала совпадает с тем, которое было приведено в § 0.3.

Пр е д л о ж е н и е 1. Пусть f — выпуклая функция на X. Тогда следующие условия эквивалентны-.

а)	х* е df (х);				z — x) для всех			г е 1 ;
б)	f (г) — / (х) > ( х \
в) / (х) + Г СО = (х\ х).
Д о к а з а т е л ь с т в о .						Если	х’ е д /( х ),		то	в силу
предложения 3 из § 4.1
(х\ z — х ) <			/' (х; z — х ) <			f (х Н- z —x) —f (х) =			f (z)—f (х).
Если (х\		z — x ) ^ . f ( z )			— f (х) для всех г е 1 ,				то (х‘ , г) —-
— / (z) ^		(х*,	х) — f (х)		для всех г е 1 , откуда, принимая
во внимание			неравенство			Юнга — Фенхеля, получаем
				r ( x ) +		f(x) =	(x\ X).
Если,	наконец,			(х*,	х ) — f (х) + /(х),			то	поскольку
/ (х + гг )		^ (х*, х		+ ez) — /* (х*),			для всякого		е >	0
		f(x +		гг) — f (х)		{х*, гг)
				е			( х \ Z)
							е

и, следовательно,

/'(х ; z ) > ( x ‘ , z).

Предложение доказано.

П р и м е р ы ф у н к ц и й и их с у б д и ф ф е р е н ци ало в .

1. Аффинная функция f(x) — (х*, х) -f- а субдиффе ренцируема в любой точке х и д /(х )= {х * }. Вообще, субдифференциал функции, дифференцируемой по Гато в данной точке, содержит единственный элемент — про изводную Гато в этой точке.

§ 4.2. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

209

Верно и обратное: если f — выпуклая функция, не прерывная в точке * и субдифференциал df(x) содер жит единственный элемент х*, то / дифференцируема по Гато в точке х и /^ (*) = **. В самом деле, в силу пред ложения 4 из § 4.1 функция /'(* ; •) непрерывна и, сле довательно, замкнута. Поэтому

Г (*; г) = (/' {х; •))** (г) = sup {(г*, г) \z' е= df (*)} = (**, г),

что по определению означает, что /^ (*) = **.

2.Субдифференциал индикаторной функции б(-|Л)

вточке х мы вычислили в § 0.3, он оказался равным конусу опорных функционалов множества А в этой точке:

db(x\A) = N ( х \ А ) = \| / е Г					\|(х *, г	— * > < 0,	Vz <= А}.
Если	К — конус,		то	N (0\| К) = К° — полярный				конус;
если	М — линейное			многообразие,		параллельное		под
пространству		L,	то	N(x\M) = LL — аннулятор				L для
всякой точки r e J W				(ср. с п. 3.3.1, пример 2).
3.	Пусть f — однородная выпуклая функция и х ф 0.
Тогда	df(x) =	{х* е		d /(0 )\|/(*) =		(х, )}.	Это	сразу
следует из предложения 1 §					4.1 и утверждения в)			пред
ложения 1.

4. Субдифференциал нормы в банаховом простран

стве мы вычислили в § 0.3:
(* * е = Г \|\|\|\|\|=1, <, > =\|\|\|\|},	если	х ф 0,
0\|\|\|\| = fi(0, 1) — {** s X* \|\|\|*‘ \|\|^ 1},	если	х — 0.

В§ 4.5 мы вычислим субдифференциалы и других_ функций.

Вэтом параграфе мы основное внимание уделяем субдифференциалам выпуклых функций. Аналогичные

результаты для невыпуклых, но субдифференцируемых функций будут получены в § 4.4.

Из определения прямо следует, что функция f мо жет быть субдифференцируема только в точках множе ства dom /. При этом, если f выпукла и субдифференци руема в некоторой точке *, то f — собственная функция, /* — тоже собственная функция и <?/(*) с dom /*. Далее, поскольку индикаторная функция субдифференциала сопряжена с производной по направлениям, субдиффе

210	ГЛ, 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

ренциал — выпуклое и слабо* замкнутое множество в силу предложения 2 из § 3.3. Заметим еще, что в силу теоремы Фенхеля — Моро выпуклая однородная функ ция субдифференцируема в нуле тогда и только тогда, когда она полунепрерывна снизу в нуле. Действительно, в этом случае замыкание функции / в нуле равно нулю. Поэтому f (из-за однородности) не может принимать значения — оо ни в одной точке, а это, в свою очередь, означает, что f*{x*) — собственная функция и dom f* Ф

^0 . Отсюда следует

П р е д л о ж е н и е 2. Выпуклая собственная функция f субдифференцируема в точке х е dom f тогда и только

тогда, когда ее производная по	направлениям в	этой
точке полунепрерывна снизу в нуле.		соб
П р е д л о ж е н и е 3.- Пусть	f (х)— выпуклая
ственная функция, непрерывная	в точке Хо. Тогда ее

субдифференциал df(x0) не пуст и ограничен в слабой*

топологии.	Согласно	предложению 4 из
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Согласно	предложению 4 из
§4.1. функция f'(x0; •)	непрерывна	на X. Из предыду