Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

§ 4.2. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

211

4.2.2. Основные теоремы

о субдифференциалах.

Эти

ку субдифференциал связан

с

локальным

поведением

функции, такие теоремы, конечно,

могут

существовать

только для локальных операций.

n —

Т е о р е м а ' 1. Пусть f i, . . . ,

f

выпуклые собствен­

ные функции на X. Тогда для всякого J ( e l

dfi (*) + ••• + dfn (х) а

д

+

. . . -ф /„) (х).

все функции f1,

. . . , fn, за исключением,

возможно,

од­

ной, непрерывны, то

д / , ( х ) +

. . . +dfn(x) = dtfl+ . . .

+ / „ ) ( * )

( 1 )

циала,

которое было дано в начале параграфа.

Д о

к а з а т е л ь с т в о . Проверка первого утвержде­

то равенство (1) следует из первой части

теоремы.

Пусть

d (fl + f2) ( x ) ¥ * 0

и х* e d ( f l + f2)(x).

Тогда х <=

е

dom (/1 +

f2) =

(dom /Д f) (dom /2). В силу предложения 4

из

§

4.1 функция f[(x;

•) непрерывна

в

точке х — х.

С другой стороны, f2{x\

х — х) ^ f2(Jc) — f2(х) < оо,

т. е.

х — jc e d o m f'2{x\ •).

Таким

образом,

нам

достаточно

проверить,

что

f'2{x; •) — собственная

функция,

ибо

в этом случае теорема 1

из § 3.4, примененная к функ­

циям f[(x;

•) и f'2(x;

•),

дает

dfi{x)

df2{x) =

йот(![(х-, •))* + dom (f' (х;

■))* =

=

dom (tf, +

f2)' (x; -)У =

д (f, +

f2) (x).

212

ГЛ, 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

Предположим,

что

f'2(x\ z — х) — — оо

для

некоторой

точки z e

l

Тогда

при достаточно

малом А > 0 точка

у — х +

Я (z —х) принадлежит dom f2 и f' (х, у — х) — — оо

(из-за

однородности

/'(х ;

•)).

Для

всякого

O ^ a ^ l

положим х (а) = ах + (1 — а) у.

Тогда

х (a) е

dom /2 и

при а,

достаточно

близких

к

единице, x ( a ) e d o m /1(

поскольку

х е

int (dom /,).

Но

тогда

— оо <

(х\

х (а) — * ) < (fi

+ f2)' (х-, х (a) — х) =

= f\ {X) х (a) — х) +

/' (х) х (а) — * ) <

<f'i(x\x(a) — *)+<*/' (X] х — х) +

(1 — a) f'2 { х ; у — х) = — оо.

Противоречие

доказывает теорему.

Т е о р е м а

2. Пусть А:

X —*■Y — непрерывный линей­

ведлива, если

d(fA)(x) — 0 . Предложим

теперь,

что

f выпукла и

непрерывна в точке Ах, z

e l , и

что

d(fA) {х) Ф 0 .

Очевидно,

(fA)'(x\z)=f'(Ax-,Az). В силу

предложения

4 из § 4.1

функция / '( Ах; •)

непрерывна

меняя к функции f'(Ax; •) теорему 3 из §

3.4,

получаем

а (/л м * ) = д (/'(Л *; •) Л) (0) =

= Л* df' (Ах;

0) =

Л* df (Ах)

пространство и f( s, x) — функция на S y , X ,

выпуклая по

х при каждом s ^ S и полунепрерывная

сверху по s

§ 4.2. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

213

при каждом i

e

l

Положим

f (х) = sup / {s,

х);

S0(x) = {s<=S\f {s,

x) = / (*)}.

s esS

Тогда, каково бы ни было x e l ,

conv (

U

dfs (x)]<=d[(x).

\s

So (x)

I

Если же при всяком

s e S

функция x - * f ( s , x ) непре­

рывна в точке х0,

то

conv /

(J

dfs (х0)\ = д[ (х0)

\s^So(x,)

1

(где через fa(-)

обозначены функции на X, определен­

ные равенствами fs( x ) = f(s, х),

а замыкание берется в

слабой* топологии пространства X*).

соответствую­

Из этой

теоремы,

конечно,

следует

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Функция f (х)

выпукла как

верхняя

грань

семейства!

выпуклых функций.

Если

s e 5 0(r)

и x * e d /s(x),

то

(х*,

z — x ) < / ( s ,

z)

f(s,

x ) < /( z )

— f(x),

т. e.

x* ^ d f ( x ) .

Таким образом,

объединение множеств

dfs(x)

по

всем

s e S 0(i:)

принадлежит

df(x),

а по­

Q = conv /

У

df$ {х)\ сI df (х).

\s^Si(x)

I

Предположим теперь, что функция

f(s,x)

непрерывна

по х

в точке х0 при всех s. Тогда <?/(х0)=И= 0 , поскольку

функция s - * f ( s , x о) конечна

и полунепрерывна сверху,

т. е. S o ^ o )^ 0 , и все множества dfs(x0) тоже не пусты

в силу предложения 3. Предположим,

что

Q ¥ = d f ( x 0),

т. е.

существует х * е д /( х 0),

не принадлежащий множе­

ству

Q. Пространство,

сопряженное

с

пространством

теоремы отделимости (теорема

2

из §

3.1)

следует суще­

ствование такого х ^ X, х Ф 0,

что

<х’ , х) ^ sup {(2 ’ , х) 1z* е

Q} +

е,

е > 0.

(2)