Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 204

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4.2. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

215

Тогда при 0 < f

< *i

получаем,

используя

(4)

и (5),

~ f {s„

х0+ Ux) +

(1 -

■£) f (s„

х0) >

 

 

 

>

f {Sf

Х 0

+

tx) > f (St>

Xo) +

t [fs, K> X) +

8] >

 

 

 

 

 

 

f (s0. x 0+ fix) — f (s0, Xq) _j_ _8_1

или

 

> / (S /, X q) +

t

 

 

11

 

2 J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (sOx 0 “ Ь UX)^

/

(So. x0 ~\~ Ux)

f (S„ Xq)

f

( %

Xq) + tfil2.

Так как по доказанному limf(s„

x0) =

f(s0, x0), то

 

 

 

 

 

t->о

 

 

 

 

 

 

lim f (st,

x0+

t:x) >

f (s0, Xq+ txx) +

tye/2.

 

t-*о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученное

неравенство

показывает,

что

функция

s —►f (s, Xq-f- tiX)

не

является

полунепрерывной сверху

по s в точке So,

в противоречии

с условиями

теоремы.

Таким

образом,

предположение

о том,

что Q ^ d f ( x 0),

оказалось ошибочным. Теорема доказана.

4.2.3.Субдифференциалы выпуклых функций в R".

П р е д л о ж е н и е 4. Пусть f — выпуклая собствен­ ная функция на Rn. Тогда f субдифференцируема во

всякой

относительно

внутренней

точке множества

dom f.

 

 

 

 

Из

теоремы

 

3 § 3.5 и из

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

предложения 4 § 4.1 следует,

что

при x e r i ( d o m / )

функция

Г ( х >')

конечна

 

на

 

подпространстве

aff(dom/) — х.

Поэтому

в силу

той

же

теоремы 3 из

§ 3.5 ( / '(х;

•))* — собственная

функция,

т. е. д } ( х ) ф 0 .

Предложение доказано.

Каратеодори

можно

доказать

С помощью теоремы

усиленный вариант теоремы 3.

 

 

 

Если в условиях

Т е о р е м а

4 (теорема об очистке).

второй

части

теоремы

Ъ X — R", то

каждый

элемент

у ^ д [ ( х 0)

может быть представлен в виде

 

 

 

 

У =

а\У\ + . . .

 

+ агуг,

 

 

 

где г ^

п + 1

н

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

а , > 0 . U i ^ dfs

 

S£

Sq

 

^

^>. •••>

216

ГЛ. 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нам

достаточно

проверить,

что множество Р =

dfs (х0) ограничено и замкнуто.

Тогда

в силу

seSoUo)

 

____

следствия

2 теоремы 1 из § 3.5 convP =

= convP.

 

 

 

 

Из доказательства теоремы 3 следует, что \fx най­

дется

X > 0

такое, что Хо +

Хх е dom f.

Поэтому

dom /'^o; • )=

R" и, так

как f'(х0; •)— собственная вы­

пуклая функция, она непрерывна согласно теореме 3 из § 3.5. Из предложения 3 следует теперь, что субдиффе­ ренциал df(x0) ограничен, а значит, и множество Р, со­ держащееся в д[(хо), ограничено. Осталось проверить

замкнутость множества Р.

Пусть последовательность

Z\, Z2, ... элементов множества Р сходится к некото­

рому г:

sk е 50(х0).

zk е sk(хо)’

Посколку множество So(xo) компактно, последователь­ ность si, s2, .. . имеет предельную точку SoG S(x o). Так как функция f полунепрерывна сверху по s, для лю­ бого x e R "

/ («0. x ) — f ( S o , АГ=0 ) f (s0, x) — f (x0) >

> l i m / ( s ft, x) — /(* 0) = lim [f(sk, x ) — f(sk, x0) ] >

k - > OO fe -> oo

> lim (zk \x — *0) = (z \x — x0),

k - + o o

t . e. 2 e dfSo(x0) ( = P. Теорема доказана.

§ 4.3. Конусы опорных функционалов

Напомним (см. § 0.3), что конусом опорных функ­ ционалов, или нормальным конусом выпуклого множе­ ства А в точке х называется множество

N (х |А) = (х* е X" |(х*, z — х ) ^ 0 , У г е Л),

совпадающее с субдифференциалом индикаторной функ­

ции

б(-|Л)

в точке х. Конусы опорных функциона­

лов

— один

из важнейших классов субдифференциа­

лов. В частности, в их терминах естественно формули­ руются условия непересечения выпуклых множеств,

§ 4.3. КОНУСЫ ОПОРНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

217

лежащие в основе большинства необходимых условий экстремума.

П р е д л о ж е н и е

1. Пусть А0, А ........ .. А„ — выпук­

лые

множества в

X,

Л0 П (inMi) П ... Л (int Л„) ф 0 и

А =

Ли П .. . П А п-

Тогда для

всякой тонки, i e / 1

 

(х |Л) =

JV (jcMo) +

••• + N { x \ A n).

Другими словами, нормальный конус пересечения мно­ жеств равен сумме нормальных конусов этих множеств.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

условию

 

б(-|Л) =

= б(-|Л0) + ... +

б(-|Л „)

и функции

6(-|Л,) непре­

рывны в точках

множеств

int Л

i — 1,

 

1

п. Требуе­

мый результат следует

теперь

из теоремы

предыду­

щего параграфа.

 

Пусть

/ — выпуклая

собствен­

П р е д л о ж е н и е 2.

ная функция на X, непрерывная в точке xq.

 

Предполо­

жим, что для некоторого

х{ справедливо

неравенство

/ ( x i ) < f(xo) — cto- Тогда

конус

опорных

функционалов

множества SSatf в точке х0 совпадает с конусом Кдп^ь порожденным субдифференциалом функции } в точке х0:

N (*о12?a,f):=Kaf(x,b

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим для краткости

A = & aJ = { x e B X \ f ( x ) < ^ a 0}.

Если

x’ e d f ( x 0),

то {х\ х — *0Х

/ (х) — / (лгиХ

0 для

всякого

х е Л,

т.

е.

 

 

 

 

 

 

 

 

Kan»)<=N(x0\A).

 

 

Пусть

 

теперь

я* е N (д:01Л),

х" Ф 0.

Из определений

отсюда

сразу следует, что линейное многообразие

 

 

= ((a, A :)e R X ^ | a =

/ (*о)>

(*',

х — х0) =

0)

не пересекается с int epi /. По первой теореме отделимо­ сти существует гиперплоскость, содержащая Ж и не

пересекающая

int epi /.

Эта

гиперплоскость

не может

быть

вертикальна

(т.

е.

задаваться

уравнением

(,г*,х) = с) в

силу

того, что

/ непрерывна

в точке А'о.

Значит,

она

задается

уравнением а = { у * , х — д0) + ’

+ /(до). Из того, что эта гиперплоскость содержит Ж,

следует, что у* — ух*, а из того, что она

опорна к

epi/, вытекает, что y * ^ d f ( x 0). Предложение

доказано.

218

9

ГЛ, 4. ЛОКАЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

 

П р е д л о ж е н и е

3.

Пусть Л0,

. . . ,

Ап— выпуклые

множества, int Ахф 0

при i— 1 ........пи Л= Л0Л ...

Л А„,

а)

 

Тогда следующие утверждения

эквивалентны’.

А0Л (int Л,) Л . . .

Л (int Ап) = 0 ;

N (х0 [ Л(),

i =

б)

существуют функционалы

х\ е

■= О,

. . . ,

п, не равные одновременно нулю и такие, что

 

 

Хо Л" Xi

. . .

“j- Хп= 0.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть выполнено а).

Тогда

существует такой набор индексов iu ..., ir (1

что

 

 

(int Л?1) Л . . .

Л (int Л/г) Ф 0 ,

 

 

 

Л Л (int Л^)п . . .

Л (int Л;г) =

0 .

 

Положим В = Ац л ••■Л Aif. Тогда int В =

(int Л(]) Л •••

. .. Л (int Alf) и, следовательно, Л0Л (int В) =

0 . По пер­

вой теореме отделимости (теорема 1 из § 3.1) мно­ жества Л0 и В можно разделить ненулевым линейным

функционалом хо е

X\

т.

е.

 

 

 

 

 

 

<*о,

 

У)

 

 

(1)

для

всех х е

Л0,

у е

В.

Поскольку

х0е Л0Л В,

от­

сюда следует,

что Xq<=N(х0|Л0), — Xo^N(x0\B). В

силу

предложения 1 JV(*o|В) =

N(x01Ati) +

••• + W (л:01Л<г).

Поэтому существуют такие x\k е N ( х 0 1Л г й) ,

k = \, . . . , г,

что

— хЪ— х\-\- . . . +

* }

. Полагая

х\ =

0 при i¥=ik,

приходим к б).

Наоборот, пусть выполнено б). По условию хотя бы один из функционалов Хо, . . . , хяп, например х\, отличен

от нуля.

Положим С== Л0Л Л, Л ... Л Л*_1 Л Л/+1 Л ... Л Ап.

Если

г =

0 и int С =

0 , то условие а), очевидно, выпол­

нено.

В

ицом случае либо in^*=^= 0 , либо intC=7^ 0 .

Имеем:

 

 

 

—х\ — Хо+ ... + x*i + x}+i + ... + хпе

е ./V (л:0 1Л0) + . . .

+ N (x0 1Л^ _ j) + N (х01Ах+х) + . . .

 

 

 

. . .

+ N { x 0\An)<=N{xa\C).

Отсюда

следует, что

функционал

х} разделяет Ai и С,

и значит, внутренность одного из этих множеств не мо­

§ 4.4. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

219

жет пересекаться с другим, т. е. справедливо утвержде­ ние а).

Доказанный результат можно обобщить следующим

образом.

 

Пусть А0, .. . ,

 

П р е д л о ж е н и е 4.

А п — непустые

выпуклые

подмножества

пространства X

и int A { ^ 0

при i = l ,

... , п. Тогда

А0 Л (int Л1) Л ... Л (int А п) = 0

в том и

только том случае, когда существуют линей­

ные функционалы хо, . . . . хЛп, не равные одновременно

нулю и такие,

что

 

 

 

 

 

 

 

Хо +

. . . -4~

=

0,

(2)

 

в(*5|Ло)+

. . . + s ( 4 M „ ) < 0

.(3)

(где 5 ( - И ) — опорная функция множества А ).

 

что

Д о к а з а т е л ь с т в о . Простой

подсчет показывает,

из (2)

и

(3)

следует,

что А0 Л (int Л1) Л •..

. . .

П (int Ап) — 0 -

Наоборот, если

выполнено

послед­

нее соотношение, мы, рассуждая, как при доказатель­ стве предыдущего предложения, придем к неравенству (1), из которого следует, что

s ( 4 | A j) + s (— 4 | Д ) < 0 .

Но

s (— * 0 1Б ) = 6* (• l f i ) ( - 4 ) = ( S 6 ( - ( - х * о ) .

Теорема 1 из § 3.4 влечет теперь существование таких функционалов x j , . . . . х\г из X', что

Хц. + . . . + х\г = — Хо,

‘ < -* I В>= i

4* (• И,.) (*!,)= 2

s(*i, I л,,).

Полагая снова xj =

0 при i ф ih, k —

1, . . . . г, полу­

чаем требуемое.

 

 

§4.4. Локально выпуклые функции

4.4.1.Определения и примеры. Если выпуклая функ­ ция непрерывна в некоторой точке, то ее производная

по направлениям непрерывна в этой точке (предложение 4, § 4.1) и, следовательно, полностью определяется суб­ дифференциалом функции в этой точке (предложение 1,

Смотрите также файлы