Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

■ ^ - = 0 .

-ff- =

uqp

(11)

Если

(*(т), у {т ))— некоторое

решение

этой

системы,

соответствующее

управлению

(и(т),

w {т)),

и при

этом

о ( т ) > 0 ,

то

^(т)— строго

возрастающая

непрерывная

функция. Обратная ей функция, обозначим ее

т (t),

тоже непрерывна и возрастает.

В этом

случае x(t) =

— y ( i ( t ) ) — решение

уравнения

(2'),

соответствующее

управлению u(t) =

w (x(t) ) , и при этом

<ш

1

J

f ( t , x (t),

и (t)) dt =

J v (т) / (t (т),

у (т),

w (т)) dx.

(12)

t (0)

о

Так как о(т)

всюду больше нуля, эти утверждения три­

виальны.

Наоборот,

если x (t) — определенное

на отрез­

ке [г'о, ^i] решение

уравнения

(2'),

соответствующее

управлению u.(t),

то

(ti — t0)x,

t(x) =

t0 +

y(x) =

x(t(x))

— решение системы

(11), соответствующее управлениям

v ( x ) = t i — to,

w(x) =

u(t(x)),

и при

этом

справедливо

равенство

(12).

Поэтому

t. (т) =

tQ, +

(ti* — to*) т,

г/, (т) =

(t, (г)),

Vt (х) = о, =

tu — to*,

w, (т) =

ut (tt (т))

— оптимальный управляемый

процесс в задаче

J

1

(1")

vf(t,

у,

w)dx->\ni\

О

=

и,

=

шр (t, у,

w) ,

(2")

у >

0,

w e

и,

(3")

Ло(*(0),

У (0)) =

h, (t (1), у (1)) =

0,

(4")

gi(t{x), y{ т ))< 0 ,

t e [ 0 ,

1],

i = \ .........k.

(5")

§ 5.2. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

249

Н (/, х, и,

v, р,

q, А0) =

=

(р Iиф (t, х, и)) +

q v — l avf (t,

х, и) =

— v(H(t,

х, и,

р, А0) -|- q),

(13)

где H — функция Понтрягина в задаче (1') — (5'). Поло­

жим далее

А( = | т е [ 0 ,

Ш & М т),

У.(т)) =

0},

г = 1 , . . . ,

k.

Р (т)== — h\x {t, (1), y A i ) ) h

+

+ Ji Н,(/,(£),

у, (|), w, (|), »„ p(l), q (|), Ao)dg —

J Six (t*

yM))dfii,

1=1 T

9(t) = — {h\t(K (1).

y , ( l ) ) \ h ) +

i

+ / Н/ (/. (|),

y, (|).........A0) di -

P(0) =

Л5, (/. (0),

У. (0)) /о,

q (0) =

(hot (t, (0), y, (0)) |/0),

H (t. ( т ) ,

y„ ( t ) , w, ( t ), v„ p ( t ) ,

q ( t ),

A3) =

=

шах H (tt (т), у, ( t), u, v, p{x), q (t), A0).

250

ГЛ. 5. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

Пусть

т. (0 — функция, обратная /, (т), т.

е.

t - t n

\ (0

*0*

h* ~ Ч*

Тогда,

если

обозначить

p ( t ) = p (т. (t)), q(t) =

q (т. (0),

= [t е [*о*> 1и\ |Si {t, х, (/)) =

0} =

f.(A <),

i = 1, . . . , k,

и определить меры рг формулами

h*

Ф (0

1

V4>(•) S

С ([/0*, /и])

J

= JФ (*.(*)) 4+

*1*

р (t) =

-

h\x (/,„

х, (/u)) /i+ |

Нх (1, х. (|), и. (£), р (|), ho) d l -

t

k

^ы

’ S

I

Sixit,

x,{D)d\ii',

(14)

q(t) =

— (hu(h*,

x* (/i«)) 11\) +

< = i

t

ft

t[ф

+ J

(£>■*■* (l)>

•••» h o ) d ^

J

S i / (£> x t (£)) d p i,

(1 5 )

t

p (to*) =

г=1 <

box (to*,

x* (+)) /о,

(16)

q (to*) =

(hot (to*,

X, (to*)) |to),

(17)

vt (H (t,

x, (/), u, (t), p (t),

ho) + q (0) =

=

max v (H (t,

x, (/),

u,

p (/),

hQ) + q (/)).

(18)

ue= С/

v > 0

Из (18) следует, что

Я (t,

х, (t), и, (t),

p (t), h0) =

max Я (/, x, (t),

u, p (t), h0),

(19)

net/