Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

§ 5.1. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

243

Далее,

коль скоро 0 е

int В, как

и

в

§

1.4, можно

выбрать

векторы х х<= X

и у х, . . . ,

yt

из

сот F (xt, U)

Fx(*., и.) х, + ух+ . . .

+ г/, = 0.

Тогда для каждого

номера

s = l ,

. . . .

I найдутся числа

ysI >

0, . . . .

ysms >

0,

в сумме

равные единице, и точки

us.......... usms

из и

такие, что

ms

iJs='%i VsiF(x.,

us]).

Поэтому линейная

оболочка множества

Д) U iF (*..

usj) l-s = 0,

. . . .

/;

/ =

1.........ms)

совпадает

с

У и

I

m s

Fx (*.. «.) ^ 1 + 2

2 YsjF (х„

usj) = 0.

(25)

S=1

/= 1

Наконец, воспользовавшись соотношением (24) и

не­

прерывностью функций х -* -/'(х >(

м ; х), можно выбрать

такое

число е >

0,

что

при

всех

/ = 0, 1, . . . ,

k

т 0

f'i (*.>

h

+ ex,) +

2

То/ (fi (*.>

ti0j) — fi (*„ «.)) +

l

m s

+

e 2

2

Уsi (fi (*„> «*/) — fi (*,-

«.)) <

o.

S=1

/= 1

При этом

в силу (23) и (25)

т о

Fx (х,,

и,) (х0+ ех,) +

2

Уо1 (F (х.,

u0J) — F (х„ «,)) +

г

+

е 2

2 ySi( F( x„ Usj) — F(x„

и . )) =

0.

s=l

/=1

Таким

образом,

набор,

образованный

вектором

Xo +

exi, точками

«оь •••, Щт,

из

U и числами у01, . . .

•••>

Yom9'

еУц’ •••>

8Y/OT/i

Обладает

требуемыми свой­

ствами (5) — (7).

Теорема полностью доказана.

244

ГЛ. 5. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

ч

3

(х (•), и (•)) =

J / (t, х,

и) dt - » inf;

(1)

х = ф(/,

х, и),

(2)

и е

U,

(3)

М *('о)) =

М *(М ) =

0,

(4)

gi(t,

x(t))*^ 0, / е

[/„,/,],

fe.

(5)

/: R X R" X Rr —> R,

gr R X R " - > R

и отображения

Ф: R X R rtX R r - > R n, hp

R“ -*R*i ( / = 1 , 2)

множества U.

2,

сформулируем

принцип

максимума

Как и в

гл.

Понтрягина

в двух

эквивалентных

формах — гамильто­

новой и лагранжевой. Введем снова функцию

Понтря­

гина

H(t, х, и, р,

А,0) = (р|ф(*,

*. u))— k0f(t,

X,

и)

и гамильтониан

2#(/,

х,

р,

А,0) = sup

H(t,

х, и, р, ко).

u^U

§ 5.2. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

245

Т е о р е м а

1

(принцип

максимума

в

гамильтоновой

форме). Пусть (**(•).

«*(•))— оптимальный управляе­

мый процесс

в задаче

(1)

— (5).

Тогда

существуют не

равные

одновременно

нулю

число

К0 ^

0,

векторы

10«= Rs\ U е

вектор-функция

р( - ): [/<,, /i]-*

Rn

и

неотрицательные регулярные меры р{,

i =

1,

k, на

[f0, ti], сосредоточенные

соответственно

на

множествах

Ti

[*0| f,] |gi (t, xt (/)) =

0},

такие, что

р(-)

является

решением

инте­

а) вектор-функция

грального уравнения

p(t) = - h i ' ( x j t l))h +

ft

*i

11

+ [ Пх(х, x,{x),u,(x),p{x),‘k0)dx~

J

gix (t, xt (т)) й?рг (6)

t

<=i t

и

(7)

p{to) =

h ? (x ,№ lo ,

б) почти при

всех

t

из [/0, ^i]

выполняется

равен­

ство

H (t,

х, (*), и, (t), р (0, Л„) =

Ж (t,

{t), р (t),

А0).

(8)

Уравнение

(6), как и в задаче без фазовых ограниче­

шений (6)

и (7),

lim

p (t)

=

-

hi* (х, (/,)) h +

S gix (tu x, (/,)) ji, ({*,]);

(9)

t < t \

i = 1

lim

P (0 =

Л6* (x, (t0)) to +

2

(/o,

*. (*o)) M’i ({^o))i

(Ю )

t - * t „

i =

i

т. e. p(0 может

иметь

разрыв в

точке

t0.

Если

же

gi(ti,

x,(ti)) <

0

и

gi (t0, х, (tQ)) <

0,

то точки

t0 и

tx не

принадлежат

ни

одному из множеств Tt, рЛ{^о)) =

= Hr((М) = 0, p(t)

непрерывна в точках

/0.

U и выпол­

нено

условие

трансверсальности

р (to) =

ho (х, (to)) to,

p{ti) = — hi(x,(U)) l\.

представляет

собой

Сформулированная теорема

еще одну реализацию принципа Лагранжа.

Если запи­

сать функцию Лагранжа

задачи

(1) —

(5)

в виде

2

= do I ho (X(to))) +

(/, 1A, (x (*,))) +

fL

+

j

[(p (t) I * (0 — Ф (*, * (0. u № + hfi {t, X (t), и (/))] dt +

и

k

t x

+ У)

J gi(t, X (t)) dpt,

анализируя

доказательство

теоремы

1

в

следующем

параграфе.

Поэтому теорема

1 допускает такую эквива­

лентную формулировку.

максимума

в

лагранжевой

Т е о р е м а

1' (принцип

форме).

Пусть

(дс,(•),«*(•)) — оптимальный управляе­

мый процесс в задаче (1) —

(5). Тогда существуют та­

кие не равные

одновременно нулю число Ко ^ 0, векто­

ры /0 е

Rso,

Zie=Rs‘, вектор-функция

ограниченной ва­