Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

5.3.1. Редукция задачи. Обозначим через 01 сово­ купность допустимых управлений в задаче (1)— (5):

Ш = {«(•) е 1^0 ( [/о, ti] ) |и (t) е U почти всюду).

Рассмотрим далее отображение F из Cn([t0, ^ ] ) Х ^

в C "([f0, /,] ) X R S,X R S‘:

F ( x ( ’ ). « ( - ) ) = ( £ / () , Оо, а ,)е = С "([/0, <,]) X R* X R” .

где

t

y(t) — x (t) — х (t0) — | ф (т, x (т), u (t)) dx,

u

ao = h0(x(tQ)), al = hl(x(tl)).

u ( - ) ^ . cU.

Таким образом, по крайней мере по форме, задача (1) —

(5) является частным случаем общей задачи, рассмот­ ренной в § 5.1. Для того чтобы применить теорему 1 из § 5.1, необходимо проверить, что функционал 3 , ото­ бражение F и функции Gi обладают перечисленными в ее формулировке свойствами.

Некоторые из этих свойств, именно, дифференцируе­ мость функционала 3 и отображения F по *(•), непре­ рывность и регулярная локальная выпуклость функций Gi, проверяются без труда.

В самом деле, дословно так же, как и в п. 2.5.2 (с той лишь разницей, что ссылку на следствие из тео­ ремы 1 из § 0.4 следует заменить ссылкой на лемму 1 из того же параграфа), показывается, что отображение x ( - ) - * F ( x ( ' ) , и(-)) непрерывно дифференцируемо по

Точно так же функционал & как функция от *(•) непре­ рывно дифференцируем по Фреше и его производная в точке (**(•), «*(•)) вычисляется по формуле

Наконец, функции G,- регулярно локально выпуклы в

Cn([/0, ^i]) в силу теоремы 3 из § 4.4, а в п. 4.5.3 было показано, что субдифференциал функции G< в точке *»(•) содержит те и только те линейные непрерывные функционалы а* на Сп([f0, G]). которые можно предста­ вить в виде

где Дг — неотрицательная регулярная мера на [/о, Л], со­ средоточенная на множестве

Ti = V е [^о, M |gi (t, x, (t)) = Gt (x, (• ))1

и имеющая полное изменение, равное единице.

Таким образом, осталось проверить, что условие б) теоремы 1 из § 5.1 также справедливо для задачи (1) —

(5). Это будет сделано в п. 5.3.3 при помощи подгото­ вительных лемм, которые доказываются в следующем пункте.

5.3.2. Подготовительные леммы. Условие б) теоре­ мы 1 из § 5.1 предполагает существование специаль­ ного отображения о. Построение такого отображения

достаточно доказать лишь для таких простых векторфункций. В самом деле, для заданной ограниченной из­ меримой вектор-функции y(t) можно подобрать такую простую вектор-функцию y(t), что

Если для простых вектор-функций лемма верна, то можно построить семейство М{а) = М(а; у (•), 6) изме­ римых подмножеств отрезка [/0, t\\. Тогда, если, скажем,

а а', то

I Ym (a) (t) Ум (о) (t) Ум (а') (0 + Ум (а') (О I =

= I Ум (а ) \ М (а ') (0 — Ум( а ) \ М (а') (О I ^ 61а — а' | в силу (9) и (11) и

|(а — а') { Y { t ) - Y (t)) | < 6 | а -а '|

в силу (11). Сравнивая эти неравенства с (10), полу­ чаем

IУм(а) (0 — Ум (а') (0 — (а — а') Y (t) |< 361а — а ' |, т. е. М (а) = М (а; у (■), 36).

Итак, пусть у ( - ) — простая вектор-функция. Для опи­ сания конструкции множеств М(а) нам удобно ввести одно обозначение. Пусть А — измеримое подмножество отрезка [^0, ^], имеющее положительную меру. Тогда

t

стоянна и равна У/. Отсюда следует, что на концах