Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 208
Скачиваний: 0
|
§ |
5.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА |
МАКСИМУМА |
257 |
||||
\(0, / 1], |
где |
параметр а пробегает значения от 0 |
до 1/пг, |
|||||
такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
mes М( (а) = а (/[ — /и) |
для |
всяких |
i — 1, |
пи |
||||
|
|
|
0 ^ |
a ^ |
1/т; |
|
|
|
|
Mt (a) f) |
(a') = |
0 , |
Mi (a') cr M, (a), |
|
|||
|
|
если |
O ^ a '^ a ^ l /in, |
I Ф k\ |
|
|||
шах |
IF ш (а) (0 — Yш, (а') (/) — (а — а') Yt (t) I < б |а — а' | |
|||||||
с= М- iЛ' |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
<е[*в,<|Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
для всех / = 1 , |
пг, О ^ а , |
а '^ 1 / т . |
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть я = |
я, + . . . + ят . Тогда |
||||||
|
|
t-> z(t) = |
(yl (t), |
. .., |
Jm{t))l |
|
||
есть измеримое ограниченное отображение отрезка Ro,^i] в Rn. Выберем семейство {М {а)} ( O ^ a ^ l ) измери мых подмножеств отрезка [/0, ^1], удовлетворяющее соот
ношениям леммы 1 |
вместе |
с z (-) и б. Пусть, |
наконец, |
|||||
О ^ |
a ^ |
1 /пг. Положим |
|
|
|
|
|
|
Mt (a) = |
М ((г — 1 )/m + a) \ М ((г — 1 )/пг), |
i = |
1, |
. . . , in |
||||
Семейства {M ,(a)}, |
i — 1, |
... , |
пг, — искомые. |
В |
самом |
|||
деле, |
множества М{(а) и ЛД(а') |
при любых г ф k, О ^ а , |
||||||
а' ^ |
1/т, |
очевидно, |
не |
пересекаются, |
mesAf,(a) = |
|||
=a(ti — t0) и (при 0 ^ a ' ^ a ^ l/m) М ( (a') cr Mt(a ) .
Наконец, последнее соотношение в формулировке
леммы |
также следует |
из леммы |
1 и того очевидного |
|
факта, |
|
что для всякого |
вектора |
z — (yh . . . , ут) е R", |
y t е Rrt‘, |
i — 1, . . . , пг, справедливы неравенства |
|||
^ | z | , |
I |
= 1, . . . , пг. Лемма доказана. |
||
5.3.3.Конструкция отображения V . Вернемся к за
даче (1) — (5). Нужно проверить, что эта задача об ладает свойствами, указанными в условии б) теоремы 1 из § 5.1. Для этого достаточно доказать следующее.
Пусть Hi(-)> |
.... Чщ(■) — некоторый |
набор допустимых |
|||
управлений |
(т. е. Uj(-)<^°U) |
и б > |
0. |
Тогда |
найдутся |
окрестность |
KcrC'^Ro. f j ) |
точки |
xt (•), число |
е > 0 и |
|
отображение а -> v (а) (•) множества е2т в °U (напомним, что
{
9 А. Д. Иоффе, В. M. Тихомиров
258 |
ГЛ. 5. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
так что |
|
eSm = |
|a = (a,.........am) е Rm |<ху > 0, 2 |
такие, что
у (0) ( t) = и , (t ) почти для всех t
И для всех *:(•), *'(•)< = У» а, а' <= е2т справедливы неравенства
max |
|
<р(т, х{х), v (а) (т)) — <р (т, х'{х), |
о(а0(т)) — |
|
|||||
|
U. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ф* (т , х, (т), и, (т)) {х (т) — х' (т)) — |
|
|||||
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
V (а/ — а/) (Ф (т, xt (т), |
UJ(т)) — ф (т, х, (т), и, (т))) dx < |
|||||||
|
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 6 l l | x ( . ) - ^ ( - ) l l c + |
^ l « / - a J | j , |
(12) |
||||
^ |
(*(■), |
u ( a ) ( - ) ) - V ( x ( - ) , « , ( • ) ) - |
|
|
|
||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
tn |
|
- |
2 |
^ |
(Э (х ( ■), и, ( •)) - |
& (х ( •), |
и. ( •))) < |
б 2 а;. |
(13) |
||
|
i =i |
|
|
|
|
|
|
1= I |
|
(В этом случае |
отображение v |
даже |
не |
зависит |
от |
||||
х (-).) |
Формула |
(12) получается |
из соответствующего |
||||||
неравенства в условии б) теоремы 1 из § 5.1 после под становки в него явных выражений для отображения F и его производной, данных в и. 5.3.1.
Итак, пусть набор иi(-), ... , ит(-) допустимых уп равлений и число 6 > 0 заданы. Рассмотрим (д+1)-мер- ные вектор-функции
У /(0 = (ф(*. x,(t), u,(t)) —
— Ф (t, x,(t), «,(/)), f(t, x,(t), u} (t)) — f(t, x,(t), u,(t))).
Они измеримы и ограничены, поскольку измеримы и ограничены управления и*(/), ui(0> um(t), а ото бражения ф и f непрерывны. Поэтому с помощью лем мы 2 можно построить однопараметрические семейства
§ 5.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО |
ПРИНЦИПА |
МАКСИМУМА |
259 |
||
{M j(a)} (0 ^ a ^ 1/т), |
/ = |
1, |
т, измеримых |
под |
|
множеств отрезка (Y0, |
такие, |
что |
|
|
|
Mj (а) П Mk(a') — 0 |
при |
j Ф k, |
|
||
Mj (a') c; M} (a) |
при |
a '< a , |
|
||
mes Mj (a) = a {tx— t0)
и
|YiMj[a) (t) — YjMj(a’) (t) — (a — a') Yj (/) |<-|| a — a' |
при всех / е |
[10, t,], 0 < a , |
(14) |
|
a '< 1/m. |
|||
Положим |
теперь |
|
|
Qm= fa — (ah . .., |
am) e R m| 0 < a / < l//n } |
||
и для всякого a e |
Qm определим вектор-функцию |
||
|
|
m |
|
V(a) (0 — U, |
(t) + 2 |
XMj (ay) (0 (“ / (0 — И, (0) • |
|
Отображение |
c - > u (a )(- ) — искомое. Прежде чем дока |
||
зывать это утверждение, обратим внимание на то, как устроены вектор-функции v(a)(t). Поскольку множества
Mj(ccj), /— l, |
... , т, попарно не пересекаются, |
v(a)(t) |
при всяком |
t принимает одно из значений |
и* (О, |
Ui(t), ... , um(t). При этом, если отрезок А достаточно велик, то доля той его части, на которой v(a) (t) = Uj(t), близка к aj. Таким образом, вектор-функция v(a)(t) по лучается как бы в результате «перемешивания» управле
ний и*(t), ut(t), ... , um(t) в пропорциях, |
определяемых |
||||||
вектором a = (ai.........am). |
Отметим еще, |
что поскольку |
|||||
множества Mj(aj), /’ = 1, |
... , |
т, не пересекаются, имеет |
|||||
место |
очевидная |
формула |
|
|
|
|
|
g(t, v (a)(t)) = g(t, ut (t)) + |
|
|
|
|
|
||
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 Xaj, («,)(*)(£(*» |
u i < t ) ) — gQ* |
МО)), |
(15) |
|||
справедливая для всякой вектор-функции |
g, заданной |
||||||
на [fo, М X Rr- |
|
|
что при |
всяком |
a E Q m |
||
Из |
определения следует, |
||||||
вектор-функции |
t —*v(a)(t) |
измеримы, |
ограничены и |
||||
9 :
260 |
|
г л . 5. |
ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
|
|
||||
принимают значения из множества U . Кроме того, оче |
|||||||||
видно, у (0) (/) = |
«*(/). |
управления «*(•), иД -), ... |
|||||||
Далее, |
поскольку |
все |
|||||||
... , ггт (-) ограничены, их |
значения |
содержатся |
в |
ком |
|||||
пактном |
множестве U\ c z Rr. Поэтому, |
используя |
непре |
||||||
рывность |
ф |
и /, |
можно выбрать такое |
о > 0, что |
нера |
||||
венства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|ф(/, х, |
u) — y(t, |
*„(/), и) |< |
Y (I^—/uj~' |
|
(16) |
|||
|
|/ ((, х, |
и) |
/ (/, х, (0, и) |< |
8 (ti6 /в) , |
|
(17) |
|||
|ф (t, х, и)—ф (/, х', и)—ф* (/, |
(t), и) (х—х') |
|
(1^) |
||||||
выполняются для всех t, х , х', и, удовлетворяющих со отношениям |х — х, (/) 1< а, 1х' — X, (/) I < а, « е ( / П о ложим
1 / = И - ) е С п([/0, Д]) III х ( •) — х, ( ■) |с < а)
и выберем |
число е > 0 |
таким образом, |
чтобы е < | 1 /т и |
|||||
|
е(/|— f0) |
max |
I Фх (t, х, (Д, |
и) |
| < . |
(19) |
||
|
|
|
t^ 1*0» |
*ll |
|
|
|
|
|
|
|
и е U i |
|
|
|
|
|
Здесь |ф* |есть норма ф* как линейного оператора из R" |
||||||||
в |
Rn. |
теперь |
х (•), |
х' ( •) е |
V, |
а, |
а' е eSm |
(тогда |
|
Пусть |
|||||||
a, |
a ' ^ Q m, поскольку е ^ 1 / т ) . |
Имеем |
|
|
||||
1 ф(т, х (г), v (а) (т)) —ф(т, х'(т), v {а') (т)) —
— Фх (х>х.(г), и, (т)) (х (т) — х'(т)) —
т
— V (а/ — а}) (ф (т, х, (т), иs(т)) — ф (т, х. (т), и, (т))) dx < y=i
It [ф(т, х (т), V (а) (т)) —Ф (т, х'(т), v (а) (т)) —
/q
— Фх (х, X, (т), v (а) (т)) (х (т) —х' (т))] dx\ +