Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 207
Скачиваний: 0
§ 5.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА |
261 |
+f [(ф,(т, Х„(х), о(а)(т)) —
— Ф* (Т, х, (т), и, (т))) (х (т) — х' (т))] dx
|
t. |
|
|
|
|
+ |
[ |
[ф (т, х' (т), v (а) (т)) — ф (т, |
х'(х), |
v(a')(x)) — |
|
|
■Ф (Т, Xt (т), v (а) (т)) |
+ ф (т, xt (т), V(а') (т))] dx + |
|||
|
t Г |
|
|
|
|
+ |
f |
Ф (х> х<(т). » (а) |
(*)) — Ф (Т, |
Xt (т), |
и (а') (т)) — |
|
id |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—У) (а/ — а/) (ф (т, х, (т), и, (т)) — /=i
—Ф (т, х, (т), и, (т)))] dx . (20)
Оценим каждое цз четырех слагаемых |
в правой части |
|
(20). Согласно (18) первое слагаемое не превосходит |
||
|-||х( •} — х '( |
■) He- |
(21) |
Второе слагаемое, согласно (15), |
равно |
|
J S йи, (ал (т) (Ф* (т>х * (т>и1(т)) —
и v= 1 |
' ; |
' |
|
|
|
|
|
— ф* (т, |
х. (т), и. (т))) {х (т) — х ' (т)) dx |
||
и в силу |
(19) |
оценивается |
следующим |
образом: |
|
2 II х (•) — х ' ( •) lie X |
|
|
|
||
X ( |
max |
|ф* (t, х, (0, и) |) |
Г ( У %м (в#\(<)|dt = |
||
|
U!=Ui |
|
f |
\ТГ |
/ ' i> j |
|
|
|
47—1 |
1 |
|
— 2||x( •) — x '( *) lie ( max 1ф*0. «.(0 . и )1 )( У а /) = V " J
= 4||*( •) — x'(-) |c. (22)
262 |
ГЛ. 5. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
Третье слагаемое, снова используя формулу (15), можно переписать в виде
t т
J ] £ (Хм (а/) (т) — Хм («') (т)) (ф (х>х' (х). ы/ (т)) —
10 /=1
—ф(т, х,(т), Uj(x)))dx .
В силу (18) оно не превосходит
(23)
Наконец, четвертое слагаемое, опять же с помощью формулы (15), переписывается так:
тt
^J [(ХМ/ ( а . ) (Т) — ХМ/(«;)(*)) (ф (Т>X. (Т)>«/ М ) —
—ф (т, X, (т), и, (т))) — (а/ — О/) ( ф (т, xt (т), щ (т)) —
—Ф(т, xt (x), и, (*)))] dx |.
Разность ф (т, х, (т), «/(т)) — ф (т, х, (т), и, (т)) содержит первые п компонент вектор-функции у 1(т). Поэтому написанное выше выражение не превосходит (см. (14))
m |
Г |
iI Z.,.Г|) <V - |
М j в, М - |
У, Wj Л < |
|
2 |
J |
||||
|
< |
2 |
|IM. (“/) <0 — ‘'ул., (.;) (0 — (“ , — «а У, <01< |
||
|
|
/ = 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
(24) |
|
|
|
|
i = |
I |
Из (21)—(24) следует, что левая часть в (20) при всех t не превосходит 6 ^ |х (•) — х' (• ) |с + 2 1ау — а) j j. Соот
ношение (12) доказано.
|
§ |
5.3. |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА jf-f |
263 |
|||||||
Наконец, |
в силу (14), |
(15), |
(17) |
|
|
||||||
f (U |
х it), |
v (a) (t)) — f{t, |
х (0, |
ы, Ю) — |
|
|
|||||
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ^ |
а/ (/ (t, х (0, и, (t)) — } ( t ,x (t), и, (0) |
dt = |
|
||||||||
т |
/=i |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
m/ W |
) ~ f(*> *(0 . « .(0 )) — . |
|||
/=i f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а/ (/ (^, |
x (0. u! (0) — / (f, |
* (0, и. CO))] # < |
|
||||||
|
|
m |
i. |
|
|
|
|
|
|
||
|
^ ^ |
I |
(^M, (а.) (О Уl W |
|
ауУ/ W ) dt + |
|
|
||||
|
|
1=1 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
m Г |
^1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ 2 |
J |
Х м , (a,) |
(0( I / (*. * (*).«, (0) — / (/. *. (0. «/ (0) I + |
||||||||
/=1 Li, |
|
' |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ \f(t,x (t), U. ( 0 ) - |
/ (*, |
* . ( 0 , tt. ( 0 ) I) # |
+ |
|
||||||
|
|
f, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- + - « * / / |
( 1 / ( 0 |
x(t), U, it))—fit, x.it), u,{t))\ + |
|
||||||||
|
+ |
fit,I |
x it), |
U, (0) — f (t, AT* (0, «. (0) I) |
< б ^ |
а л |
|||||
т. e. неравенство (13) тоже верно. |
l=i |
||||||||||
|
|
||||||||||
Таким образом, |
задача (1) — (5) обладает всеми свой |
||||||||||
ствами, |
перечисленными |
в формулировке теоремы 1 |
из |
||||||||
§ 5.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.4.Завершение доказательства принципа макси
мума. |
Функция Лагранжа задачи |
(1) — (5) |
имеет вид |
||
|
U |
|
|
|
|
|
j f i t , x{t), и (t)) dt + |
|
|
||
+ |
J ^ ( 0 |
— X(t0) — Jt |
ф ( t , x (т), |
u ( t ) ) dx |dvj + |
|
|
+ |
(^o IК {x Ш |
+ {l\ |hi {x (t{))) + |
^ Xfi({x(•)), |
|
|
|
|
|
|
t=l |
264 |
ГЛ. Ь. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
|
|
|
||
где |
v — регулярная |
векторная мера |
на [^0, ^i] (т. |
е. |
v== |
|
= (v,, . . . , v„), где |
Vi — регулярные |
меры |
на |
[/0, |
tt]), |
|
/0esR So, / 1 е Rs‘. В |
силу теоремы 1 |
из § |
5.1 найдутся |
|||
не равные одновременно нулю множители Лагранжа
A073sO, |
. . . . А&^О, /а е |
Rs\ |
l{ е RS| и векторная |
мера v |
|
такие, |
что |
|
|
|
|
|
О е дх{.)2,(х»( |
■), |
«*(•)» •••). |
(25) |
|
(• ),«* (• ). •••)= |
min |
3 ?(х ,(-), ы( - ), •••), |
(26) |
||
|
^fii (*,( •)) = 0, |
i = l .........k. |
(27) |
||
Рассмотрим подробнее каждую из написанных формул.
Обозначим |
для |
краткости |
fx — fx (t, х, {t), |
ut (/)), |
h'0 = |
||
= h'0 {xr {t0)) |
и т. |
д. Используя |
выражение |
(8) |
для |
суб- |
|
дифференциалов |
функций |
Ос, |
i — |
k, |
получаем |
||
из (25), (6), |
(7), |
что для всех х ( •) <= Cn([t0, ^]) должно |
|||||
выполняться равенство |
|
|
X\х (*)) dt + |
\х (t) — x{tb) — |
Ц)хх (т) dx |dv + |
|
k |
f. |
где jl„ г'= 1, . . . , k, — регулярные неотрицательные меры с полным изменением, равным единице, сосредоточен
ные на множествах = | 1 е [/0, /,] |gt (t, xt (t)) = Gt (x„ (•))}
соответственно. Изменяя порядок интегрирования во втором слагаемом и полагая рг = А/р,,-, приведем напи санное выше соотношение к виду
§ 5.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА |
МАКСИМУМА |
265 |
|
Это равенство должно |
выполняться |
для всех |
х (•) е |
е Сл( [/о. )• Применяя |
теорему Рисса о единственности |
||
представления линейного функционала в пространстве
Cn([i0, М) |
и обозначая |
p ( t ) = f |
dv, получаем |
||||
|
Р(0 =-л;*/| + j |
(ф> (t) - |
\ f x) dr — V g {x dp{ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
i = l |
|
|
|
|
p(to) — ^0 |
|
||
Тем самым доказаны соотношения (6), (7) из § 5.2. |
|||||||
|
Далее, |
соотношение |
(26) |
эквивалентно следующему: |
|||
J |
Кf(t, x,(t), |
ut (i))dt — I j |
ф (т, хДт), « . (т))dx |dv |
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
min |
I |
Kf (t, *,(0> u{t))dt- |
||
|
|
|
Ы(-)е£/ J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J ф (t, xt (т), u(t)) dx |dv |
|
Ho |
|
|
|
|
|
|
|
t, |
( t |
|
|
|
|
|
|
J I Jф(т, |
xt (x), u( t)) dx |dv I = |
|
|||||
to |
'to |
= |
J (Ф(^.X, (0. |
W(0) J dv Jdt — |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= j |
(p(0 1ф V, *.(0» и ( 0 ) ) л . |
Из этих двух равенств следует соотношение (8) из § 5.2. Заметим, наконец, что если Gj (х, (•)) < 0, то в силу (27) А,- = 0. Поэтому среди мер ps отличными от нуля